Случайные величины сходятся по распределению, но не в Lp

[Otta]

Я все понимаю, и определения иногда тоже )
Но чему равно, по-Вашему, $X$?

[--mS--]

Juicer в сообщении #1467074 писал(а):

Ну и ясно, что $1 \nrightarrow 0$

Ну да, прошу прощения, я почему-то по привычке решила, что величины сходятся слабо к нулю, и отвечала ровно про этот вариант. Тривиальных примеров, когда слабо сходящаяся последовательность не сходится в $L_p$, пруд пруди.

Но Ваш пример с берннуллевскими величинами некорректен. Давайте я беру такую последовательность с.в.: $X_1\sim Bern(\frac12)$, $X_j=X_1$ для всех $j=2,3,\ldots$, и $X=X_1$.

Тогда $X_n\Rightarrow X$, $|X_n-X|\equiv 0$ и $L_p$ сходимость имеется для любого $p$.

Все предположения Вашего примера выполнены, а результат не такой. Что я делаю не так?

[Juicer]

--mS-- в сообщении #1467111 писал(а):

Все предположения Вашего примера выполнены

значит, они должны быть не равны между собой?

-- 05.06.2020, 14:55 --

Otta в сообщении #1467093 писал(а):

Но чему равно, по-Вашему,

$X$ может быть тоже как 0, так и 1.

[--mS--]

Juicer в сообщении #1467145 писал(а):

значит, они должны быть не равны между собой?

Любой каприз за Ваши деньги (хотя высказывание про случайные величины "должны быть не равны между собой" звучит по меньшей мере странно: все? некоторые? При каком-то $\omega$? Ни при каком $\omega$?) . Пусть $X_2=7$, а все остальные $X_j=X_1$, $j\geq 3$. Теперь уже нельзя сказать, что величины $X_1,X_2,\ldots $ равны между собой?

[Juicer]

Не равны в совокупности, конечно

[--mS--]

Извините, не понимаю этой фразы.

[Otta]

Juicer в сообщении #1467145 писал(а):

$X$ может быть тоже как 0, так и 1.

Чему именно?
Можно посмотреть, куда сходится Ваша последовательность по распределению. Куда?
А вот сходимость в $L_1$, например, как Вы будете проверять?

-----

Можете еще вот что попробовать. Данных о последовательности с.в. в стартовом посте, к примеру, достаточно, чтобы восстановить распределение каждой из них. Какое оно?