Случайные величины сходятся по распределению, но не в Lp

[Juicer]

Нужно привести пример, когда случайные величины $\xi_n \overset{d}{\to} \xi$, но не сходятся в $L_p(\Omega, \mathbb{P}), p \ge 1$.
На просторах интернета нашёл такой пример:
Надо построить $\xi_n \overset{U}{\to} \xi, $ но $\xi_n \overset{L_p}{\nrightarrow} \xi .\; \Omega = [0, 1], \mathcal{F} = \mathcal{B}([0, 1]), U$ - равномерное распределение. Определим для $k \ge 1 \; \xi_k = 2^{k - 1} \mathbb{I}([0, \frac{1}{2^{k - 1}}])$. Здесь $\mathbb{I}$ - индикатор.
Тогда $\forallk \mathbb{E}\xi_k = 1,$ но $\xi =\mathbb{I}(w = 0)$.
Но ведь, если посчитать матожидание, то в интеграле получается бесконечность из-за $2^{k - 1} , \;k \to \infty$. Тогда матожидание не определено получается?
И какой пример тогда можно привести?

[Otta]

Juicer

Juicer в сообщении #1466809 писал(а):

Но ведь, если посчитать матожидание, то в интеграле получается бесконечность

Нет, единица получается, все верно. Носитель-то ограничен и мера у него тоже куда-то там стремится.
В общем, надо аккуратнее считать матожидание.

[Juicer]

Otta в сообщении #1466858 писал(а):

аккуратнее

а как это правильно сделать?

[Otta]

По определению матожидания. Исходному. Базовому. Так проще всего.

[Juicer]

Otta в сообщении #1466907 писал(а):

Базовому

ну, то есть, через интеграл? Получается

$$\mathbb{E} = \int_0^{2^{k - 1}}2^{k -1} dx$$

?

[Otta]

Базовое определение - вот:

$$\mathbb{E\xi} = \int_\Omega\xi(\omega)\,\mathbb P(d\omega)$$

Пользуйтесь.

[Juicer]

Otta в сообщении #1466913 писал(а):

Базовое определение - вот:

я знаю это определение, и понял, что вы намекаете на меру, но как применить это?

[Otta]

В лоб. Мне осталось только написать :) а тут нельзя. Что нужный интеграл - единица, как-то очевидно.

[Juicer]

Otta в сообщении #1466925 писал(а):

а тут нельзя

А почему нельзя?)
Ну вроде бы тоже очевидно интуитивно, но всё же что-то неясно.
Ну ладно, а вы не знаете, какой ещё можно пример привести? Вот, например, можно же ещё бернуллевские величины взять: там тоже в L1 уже нет сходимости. А что ещё можно?

[Otta]

(Оффтоп)

Juicer в сообщении #1466942 писал(а):

А почему нельзя?)

Модератор ругается. Приходит и говорит: правила форума, мол. Статья какая-то. Не помню. Посмотрите, мне лень.

Juicer в сообщении #1466942 писал(а):

Ну ладно, а вы не знаете, какой ещё можно пример привести?

Это очень хороший пример, и обычно он и приводится. В силу тривиальности обоснования.

[--mS--]

Juicer в сообщении #1466942 писал(а):

Ну ладно, а вы не знаете, какой ещё можно пример привести? Вот, например, можно же ещё бернуллевские величины взять: там тоже в L1 уже нет сходимости.

Как это нет? Если бернуллевские величины сходятся по распределению, то их матожидания (как и моменты любого порядка) сходятся просто из-за ограниченности. Теорема о мажорируемой сходимости.

[alisa-lebovski]

Juicer в сообщении #1466910 писал(а):

Otta в сообщении #1466907 писал(а):

Базовому

ну, то есть, через интеграл? Получается

$$\mathbb{E} = \int_0^{2^{k - 1}}2^{k -1} dx$$

?

Верхний предел интегрирования наоборот - $2^{1-k}$.

[Juicer]

--mS-- в сообщении #1467009 писал(а):

Как это нет?

$X_j \sim Bern(\frac{1}{2}) \forall j = 1,..., n$.
Т.е.
$ X_j = \begin{cases} 1, p = \frac{1}{2},\\ 0, q = \frac{1}{2}. \end{cases} $
$\mathbb{E}X_j = 1\cdot\frac{1}{2} + 0\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \mathbb{E}X$. Нам нужно показать, что $\mathbb{E}|X_j - X|^n \to 0$.
В то же время
$ |X_j - X| = \begin{cases} 0, p = \frac{1}{2}, \\ 1, p = \frac{1}{2}. \end{cases}$

Ну и ясно, что $1 \nrightarrow 0$

[Otta]

Juicer в сообщении #1467074 писал(а):

Ну и ясно, что $1 \nrightarrow 0$

А чем Вам так ноль понравился? Она не обязана к нулю сходиться.
Стационарная последовательность же, распределения одинаковы.

[Juicer]

Otta в сообщении #1467091 писал(а):

Она не обязана к нулю

при $j \to \infty$ обязана - это просто определение сходимости в $L_p$