Рациональности на x^2+y^2-z^2+1/x^2+1/y^2-1/z^2-2 = 0

[Volik]

Доброго всем дня. В "кубоидных" изысканиях вылезла поверхность
$ x^2+y^2-z^2+ \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2}- \frac{1}{z^2}-2=0$
Задача: Найти хотя бы одну рациональную точу, отличную от тривиальных $ [[x= \pm 1, y= \pm z], [y= \pm 1, x= \pm z]]$, или доказать, что их нет.
Первый случай позволит построить рациональный кубоид, а второй, доказать его невозможность.
Заранее благодарен.

[scwec]

Поинтересуйтесь темой https://dxdy.ru/topic70000.html, в ней обсуждались похожие вопросы.

[Volik]

Спасибо, поучительное обсуждение. Завтра, на свежую голову попытаюсь что то вытащить для своей задачи. Сам я пытался использовать вспомогательное, заведомо рациональное, уравнение
$x^2+y^2-z^2+i^2+j^2-k^2-2=0$, отсеивая решения вида $(x=\frac{1}{i}, y=\frac{1}{j}, z=\frac{1}{k})$
Где то запутался и не могу разобраться.

[FEBUS]

$x=\pm1; \;y=z=\frac{p}{q}$

[Volik]

Найти отличное от тривиальных!