Это - синус!

[DeBill]

(Оффтоп)

Откуда-то

Гладкая функция на прямой такова, что она сама, и все ее производные, во всех точках, по модулю не превышают 1, а в нуле производная равна 1. Докажите, что эта функция есть $\sin x$.

[amon]

DeBill в сообщении #1465183 писал(а):

Гладкая функция

Гладкая = непрерывная со всеми производными? (Вроде как, непрерывности только первой производной мало: $f(x)=-\frac{x^2}{\pi}+x,\, x\in[0,\pi]$ антисимметрично продолженная.)

[mihaild]

Обозначим нашу функию за $f$. Возьмем $g \in S(\mathbb R)$. Имеем $|\langle f^{(n)}, \hat{g}\rangle | \leqslant \|\hat{g}\|_{L_1}$.
С другой стороны, $|\langle f^{(n)}, \hat{g}\rangle| = |\langle \hat{f^{(n)}}, g\rangle| = |\langle x^n \cdot \hat{f}, g\rangle| = |\langle \hat{f}, x^n \cdot g\rangle|$, так что $|\langle \hat{f}, x^n \cdot g\rangle|$ ограничено равномерно по $n$. Отсюда наверное следует, что у $\hat{f}$ носитель внутри $[-1, 1]$ (это очевидно так если $\hat{f}$ регулярная функция), и значит $f$ периодическая с периодом $2\pi$. Особой радости правда от этого я не вижу (даже если это всё-таки правда)...

[novichok2018]

Из разложения в ряд следует экспоненциальная оценка, порядок единица, то есть это целая функция экспоненциального типа. Носитель Фурье на [-1,1] - Пэли-Винер. Поможет?

[FL91]

Из условий вытекает, что функция является сужением целой функции на $\mathbb{R}$. В принципе, это даже ц.ф.э.т $\leqslant 1$.

Так как $f'(0)=1$ и $|f(x)|\leqslant 1$, то из неравенства Бернштейна вытекает, что $\sup_\mathbb{R}|f(x)|=1$. Равенство в неравенстве Бернштейна (в данном случае) достигается только на функциях вида $f(x)=ae^{ix}+be^{-ix}$, $a,b\in\mathbb{C}$. А дальше надо воспользоваться условиями $f'(0)=1$ и $|f(x_0)|=1$ для некоторой точки $x_0\in\mathbb{R}$ (это из вида решения вытекает).

Наверное где-то так. Но как-то не олимпиадно.

[DeBill]

mihaild в сообщении #1465232 писал(а):

у $\hat{f}$ носитель внутри $[-1, 1]$ (это очевидно так если $\hat{f}$ регулярная функция),

Видимо, так и всегда...

mihaild в сообщении #1465232 писал(а):

значит $f$ периодическая с периодом $2\pi$

А вот это - не факт! Из оценок выше это не следует. Пример: синус половинного аргумента. Т.е., без того условия нормировки ниче не выйдет....

[mihaild]

DeBill в сообщении #1465243 писал(а):

А вот это - не факт!

Да, это я бред какой-то написал... Преобразоание Фурье от функции с компактным носителем вообще быть периодическим не обязано (даже в простейшем случае вроде индикатора отрезка).

[FL91]

FL91 в сообщении #1465242 писал(а):

А дальше надо воспользоваться условиями $f'(0)=1$ и $|f(x_0)|=1$ для некоторой точки $x_0\in\mathbb{R}$ (это из вида решения вытекает).

Этого не достаточно чтобы определить $a$ и $b$ из вида решения, надо ещё воспользоваться условиями ограниченности (модуль $\leqslant 1$) на функцию и её производную. Если предположить, что $f(x)$ принимает вещественные значения, то должно хватить только условия на функцию.

[amon]

DeBill в сообщении #1465183 писал(а):

Гладкая функция на прямой такова, что она сама, и все ее производные, во всех точках, по модулю не превышают 1, а в нуле производная равна 1.

Это я совсем тупой?

$$\frac{2 \arctg\left(\frac{\pi x}{2}\right)}{\pi }$$

[mihaild]

amon, третья производная в нуле равна $-\frac{\pi^2}{2} < -1$.

[DeBill]

amon
Лень считать, но , типа, 10-я производная будет где-то большая (арктангенс - не целая, а novichok2018 уже обосновал, что токо целые годятся)

[amon]

Ну, слава богу.

[3apa3a]

а чем плоха функция $\sin(kx)$ для любого 0<k<1 ?

[novichok2018]

плоха значением производной в нуле

[novichok2018]

Попробуем такой план. Поверим сказанному выше, что $f(x)=a\exp(ix)+b\exp(-ix)$ с некоторыми комплексными постоянными.
1. Тогда функция $f(x)$ удовлетворяет такой задаче Коши

$$ f''(x)=-f(x), f(0)=c, f'(0)=1. $$

Тогда

$$ f(x)=\sin(x)+c\cos(x). $$

2. Предположим, что число $c$ - действительное. Получаем

$$ f(x)=\sqrt{1+c^2}\sin(x+\varphi), $$

синус всё равно где-то обращается в единицу, поэтому для выполнения условия $|f(x)|\leq 1$ нужно $c=0$.
3. Пусть теперь $c=u+iv$ - комплексное число. Действительная часть
$|\operatorname{Re} f|\leq |f| \leq 1 $, $|\sin(x)+u\cos(x)|\leq 1$ и опять $u=0, f(x)=\sin(x)+iv\cos(x)$.
Далее пока не получается. Может быть есть неединственность и все такие функции удовлетворяют условию задачи? Нужно требовать действительность функции с самого начала?