fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Дифференциал функции с промежуточным аргументом
Сообщение17.05.2020, 17:13 


05/09/16
12398
misha.physics в сообщении #1463384 писал(а):
Т.е. дифференциал это функция от $(x,\Delta x)$, являющаяся бесконечно малой при $\Delta x\to0$ того же порядка малости, что и $\Delta x$, но при конечных значениях $\Delta x$ может принимать конечные значения. Так правильно?
В целом - да, с оглядкой на существование и конечность производной в точке $x$. Графически -- если в точке $x$ можно провести касательную к графику $y(x)$ и она не вертикальна -- то да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциал функции с промежуточным аргументом
Сообщение17.05.2020, 20:32 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
misha.physics в сообщении #1463384 писал(а):
Ещё хочу уточнить. Дифференциал $dy$ является бесконечно малой величиной того же порядка что и $\Delta x=dx$ при $\Delta x\to0$. Но мы можем рассматривать и конечные значения $dy$ и $\Delta x=dx$, правда?
Всегда и рассматриваем. Рассматривай мы только ноль, мы бы не знали значения производной. :-)

misha.physics в сообщении #1463384 писал(а):
И ещё (простите за оффтоп) хочу убедиться в правильном понимании связи между функцией, её пределом и б.м.ф. Когда мы пишем $f(x)=A+\alpha(x)$, где $f(x)\to A$ и $\alpha(x)\to0$ при $x\to x_0$, то это значит, что функция $\alpha(x)$ параллельна $f(x)$, смещена на $A$ и проходит через $(x_0,0)$, так просто?
Я бы сказал раздельнее: во-первых, если $f(x) = A + \alpha(x)$, то график $\alpha$ смещён относительно графика $f$ вниз на $A$. Отдельно, во-вторых, если $\alpha(x_0) = 0$ (равна, не стремится!), то её график конечно проходит через $(x_0, 0)$; но если лишь $\alpha(x)\to0$ при $x\to x_0$, то $(x_0, 0)$ как раз и не обязательно принадлежит её графику. Хотя эта точка будет точкой его прикосновения, то есть на рисунке, если она таки не принадлежит графику, нам придётся явным образом рисовать, что она в график не входит, а то иначе нам покажется, что она туда входит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциал функции с промежуточным аргументом
Сообщение17.05.2020, 21:00 


05/09/16
12398
misha.physics в сообщении #1463384 писал(а):
Т.е. дифференциал это функция от $(x,\Delta x)$, являющаяся бесконечно малой при $\Delta x\to0$ того же порядка малости, что и $\Delta x$, но при конечных значениях $\Delta x$ может принимать конечные значения. Так правильно?

Я бы ещё добавил пример из жизни. Вот вы едете в автомобиле и смотрите на спидометр, показание которого равно 60. Спидометр показывает вам текущую (в момент времени $t_0$) производную функции пройденного расстояния от времени (=скорость) $s'(t)=v(t);ds(t_0,\Delta t)=s'(t_0)\Delta t=v(t_0)\Delta t$. Умножая скажем на час ($\Delta t=3600$) вы получаете вполне конечное и никак не малое значение приращения пути $ds(t_0,3600)=60000$ И это не приближенное, а точное равенство. Линейная часть приращения пути будет равна именно 60 километрам, а остальное (если за этот час ускорялись, замедлялись и т.п.) -- нелинейная часть.
Другой пример -- вы отпускаете камень в свободное падение с какой-то высоты в момент времени $t_0$. В момент отпускания $t_0$, скорость его нулевая, $s'(t_0)=0$ так что и дифференциал (пройденного пути от времени) нулевой $ds(t_0,\Delta t)=0$ независимо от значения $\Delta t$, и линейная часть приращения пройденного пути - ноль, а всё что пролетит камень за приращение времени $\Delta t$ - нелинейная часть приращения пути.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциал функции с промежуточным аргументом
Сообщение18.05.2020, 00:47 


23/11/09
173
misha.physics в сообщении #1463384 писал(а):
Это ваша синяя кривая. Видно, что при $\Delta x\to0$ она приближается к красной как и должно быть.
Не просто приближается, а является касательной в точке х. Если быть еще точнее, то касательной может не существовать, а синяя прямая (дифференциал в точке x) будет иметь иной геометрический смысл.
misha.physics в сообщении #1463384 писал(а):
Ещё хочу уточнить. Дифференциал $dy$ является бесконечно малой величиной того же порядка что и $\Delta x=dx$ при $\Delta x\to0$
За исключением случая, когда дифференциал dy равен нулю. Тогда он другого порядка малости чем $\Delta x=dx$ при $\delta x\to0$
misha.physics в сообщении #1463384 писал(а):
Когда мы пишем $f(x)=A+\alpha(x)$, где $f(x)\to A$ и $\alpha(x)\to0$ при $x\to x_0$, то это значит, что функция $\alpha(x)$ параллельна $f(x)$, смещена на $A$ и проходит через $(x_0,0)$, так просто?
Это значит, что задачу "показать что $f(x) \to A$" свели к более простой "Показать что $f(x)-A \to 0$"

Вот вам еще на будущее:
Дифференциал дифференциала (второй дифференциал) по независимой переменной
$$d(d(y))=d(y_x'dx)$$ Здесь ввиду независимости dx от переменной дифференцирования x, его можно вынести за знак дифференциала
$$d(y_x')dx=y''_xdxdx$$Фихтенгольц говорит что первое приращение dx должно быть равно второму dx, только так станет возможным повторное дифференцирование.
Но я бы с ним поспорил. Ведь dx в любом случае независимо от x, поэтому дифференцированию по x второй раз ничего не мешает. Более того, если мы согласились что дифференциал это функция от x и от $\Delta x$, то дифференциал дифференциала в точке должен быть функцией от 2-ух независимых приращений $\Delta x$ и повторного $\Delta x$, иначе мы будем противоречить себе.
В последней формуле можно было бы считать приращения $dxdx$ различными, но пользы от этого никакой и для удобства их полагают "независимыми, но равными".

Формула дифференциала дифференциала по зависимому (промежуточному) аргументу

Выводится из дифференциала по независимому аргументу так:
$$d(d(y))=y''_xdxdx=(y'_uu'_x)'dxdx=(y''_uu'_xu'_x+y'_uu''_x)dxdx=(y''_ududu+y'_ud(du))$$
либо из формулы $d(ab)=da\cdot{b}+a\cdot{db}$:
$$d(d(y))=d(y'_udu)=d(y'_u)du+y'_ud(du)=y''_ududu+y'_ud(du)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциал функции с промежуточным аргументом
Сообщение18.05.2020, 01:25 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
deep blue в сообщении #1463516 писал(а):
Если быть еще точнее, то касательной может не существовать, а синяя прямая (дифференциал в точке x) будет иметь иной геометрический смысл.
Погодите, в каких случаях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциал функции с промежуточным аргументом
Сообщение18.05.2020, 12:22 


23/11/09
173
В случае $y=x\sin(\frac{1}{x})$ если $x\neq0$ и $y=0$ при $x=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциал функции с промежуточным аргументом
Сообщение18.05.2020, 12:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18035
Москва
deep blue в сообщении #1463589 писал(а):
В случае $y=x\sin(\frac{1}{x})$ если $x\neq0$ и $y=0$ при $x=0$.
deep blue
И какая там касательная?
И определение касательной заодно припомните.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциал функции с промежуточным аргументом
Сообщение18.05.2020, 12:37 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
wrest, спасибо за примеры, понял. Особенно с камнем было интересно.
arseniiv,
arseniiv в сообщении #1463443 писал(а):
Всегда и рассматриваем. Рассматривай мы только ноль, мы бы не знали значения производной. :-)

Не то чтобы только ноль, я просто раньше думал, что дифференциал это что-то сколь угодно близкое к нулю, но не ноль (если производная не равна нулю). Не подумал, что $dx\to0$ значит последовательность конечных $dx$ неограниченно приближающихся к нулю (по Гейне). Будет и соответствующая последовательность конечных $dy$$\Delta y$ тоже). А когда $dy=0$, то $dy$ считается конечной величиной? :oops:
arseniiv в сообщении #1463443 писал(а):
но если лишь $\alpha(x)\to0$ при $x\to x_0$, то $(x_0, 0)$ как раз и не обязательно принадлежит её графику

Да, точно.
deep blue,
deep blue в сообщении #1463516 писал(а):
Не просто приближается, а является касательной в точке х.

Да, я имел это ввиду.
deep blue в сообщении #1463516 писал(а):
Фихтенгольц говорит что первое приращение dx должно быть равно второму dx, только так станет возможным повторное дифференцирование.

Мне это тоже не совсем понятно. Особенно, когда пишем $d^2y/dx^2=d^2y/dx\cdot dx$. Но я не очень обратил на это внимание, просто посчитал, что $dx$ там и там стремится к нулю одинаково.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциал функции с промежуточным аргументом
Сообщение18.05.2020, 12:43 


23/11/09
173
По определению, касательная это предельное положение секущей. Тогда все в порядке, вы правы.
Я почему-то думал это прерогатива геометрического смысла дифференциала, а касательная это что-то более естественное что можно объяснить дошкольнику :mrgreen: .

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциал функции с промежуточным аргументом
Сообщение18.05.2020, 13:18 


05/09/16
12398
misha.physics в сообщении #1463597 писал(а):
Особенно, когда пишем $d^2y/dx^2=d^2y/dx\cdot dx$.

Вы с этими записями поосторожней, это не алгебра, не деление, не умножение и не возведение в квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциал функции с промежуточным аргументом
Сообщение18.05.2020, 16:09 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Вообще второй дифференциал это квадратичная форма, и так как у нас тут одномерное пространство, то аналогично первому дифференциалу, для некоторого ненулевого $h$ она имеет простой вид $d^2 f_x(h) = B\, h^2$ (где $B = f''(x)$), так что можно опять (как с первым дифференциалом) рассматривать $\dfrac{d^2f}{dx^2}$ как обычное деление, если только понимать запись $F^2$ для линейной функции $F$ как функцию $h\mapsto F^2(h)$.

А вот как только у нас функция действует из многомерного пространства (например это функция нескольких вещественных аргументов), так сразу деление отваливается ровно по той же причине, по которой нельзя разделить вектор на вектор в многомерном пространстве (в одномерном можно, они там все друг другу пропорциональны).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: wrest


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group