Дифференциал функции с промежуточным аргументом

[misha.physics]

Здравствуйте. Не получается визуализировать себе следующую вещь.
Пусть имеем функции $y=y(u)$, $u=u(x)$, тогда $y'_x=y'_uu'_x$, умножим на $dx$, получим $dy=y'_udu$ (инвариантность дифференциала), понятно, что $du\neq\Delta u$ вообще говоря (равенство имеет место только при $u=x$) и ясно, что для независимой переменной имем $dx=\Delta x$. Аналитически понятно, а вот графически не могу понять, почему нельзя написать $dy=y'_u\Delta u$ (понимаю, что получаться разные выражения, вообще говоря). Правда, я не уверен, что это можно визуализировать, но если можно, то интересно как? Нарисовал графики, поясняющие формулу $dy=y'_udu$, но не понимаю, почему нельзя на втором графике взять $\Delta u$ вместо $du$.

($u(x)$)

($y(u)$)

[Утундрий]

misha.physics в сообщении #1463201 писал(а):

визуализировать себе

Как это понимать?

[misha.physics]

Утундрий, то есть, понять это более наглядно, интуитивно, без использования формулы для производной сложной функции. Например, изобразить график, на котором будет информация, что $y$ есть функция $u$, а $u$ в свою очередь есть функция $x$, и найти дифференциал функции $y$ пользуясь тем фактом, что это главная (линейная) часть приращения функции $y$ при приращении $x$ посредством функции $u$. Я себе представляю приращение $\Delta x$, соответствующее ему приращение $\Delta u$ и, наконец, соответствующее последнему приращение $\Delta y$. Но по дороге что-то происходит и мы для выражения $dy$ умножаем $y'_u$ не на $\Delta u$ а на линейную часть от него. Вот этого интуитивно не понимаю, что происходит по дороге. Просто, если существует какое-то наглядное представление, то интересно его увидеть, если же нет (не все обязано быть наглядным), то и пусть.

[Утундрий]

misha.physics в сообщении #1463211 писал(а):

интуитивно не понимаю

Так, может, и не надо?

[misha.physics]

Если особо полезного смысла в таком интуитивном понимании нет, тогда вполне возможно не надо, особенно если он будет высосан из пальца.

[Утундрий]

misha.physics в сообщении #1463218 писал(а):

Если особо полезного смысла в таком интуитивном понимании нет

Это зависит от того, куда собираетесь применять данное знание. Если красиво раскрасить и на стену повесить - это одно, а если производные считать, то совсем другое.

[misha.physics]

Пожалуй, скорее, первое. Чтобы считать производные, даже знать и понимать определение дифференциала, по моему мнению, необязательно.

[arseniiv]

misha.physics
Тут может не хватать математической точности. Дифференциал функции $f$ в точке $x$ — это линейная функция (но равная нулю в нуле, а не как в школе), которая отображает некоторое число $\Delta x$ в некоторое число $\Delta y := f'(x) \Delta x$. Плюс к этому небольшой вольностью языка говорят о дифференциале независимой переменной, понимая его как функцию тождественную, $\Delta x\mapsto \Delta x$, потому что это и есть дифференциал тождественной функции $x\mapsto x$, в любом иксе одинаковый. Для случая функций одной переменной дифференциал уместно и визуализировать как это сделали бы с линейной функцией — как её график, прямую, а именно прямую, параллельную касательной к интересующей функции в интересующей точке, но проходящую через ноль (и это прохождение можно перестать рассматривать, потому что есть простая лемма*).

* Лемма: если \small$A_1(x) = a_1 x + C_1$ и \small$A_2(x) = a_2 x + C_2$, то \small$(A_2\circ A_1)(x) = a_2 a_1 x + C_3$ для какой-то там константы \small$C_3$. То есть вместо линейных функций, при которых \small$0\mapsto 0$, когда нас интересует только их композиция, мы можем рассматривать классы эквивалентности всех линейных функций, сдвинутых на произвольную константу — эти сдвиги на константу ничего не испортят.

Теперь возьмём (точнее, получим) теорему об инвариантности и всяком таком и запишем интересующие дифференциалы, аккуратно обозначая всё разными переменными, и притом я не буду поминать приращения всуе, говоря о самих дифференциалах в точке как функциях. Надеюсь, вы сочтёте это полезным или хотя бы освежающим.

Пусть $y = f(x)$ и $z = g(y)$ ($x, y, z$ — числа, $f, g$ — функции). Тогда $df_x$ умножает приращение на $f'(x)$; $dg_y$ умножает приращение на $g'(y)$. Теперь вспомним, что мы заявили, что $y = f(x)$, тогда предыдущее в частности значит и что $dg_y\equiv dg_{f(x)}$ умножает на $g'(f(x))$. В свою очередь, отсюда получим, что произведение $T = dg_y f'(x)$ умножает на $U = g'(f(x)) f'(x)$. $T$ — это не просто какое-то произведение, а композиция дифференциалов, $dg_y \circ df_x$; а справа у нас $U$ не просто какое-то произведение, а $(g\circ f)'(x)$, то есть $dg_y \circ df_x$ умножает на то же, на что умножает и $d(g\circ f)_x$.

Обозначим наконец $g\circ f = h$, то есть $z = h(x)$, и получим $dh_x = dg_y\circ df_x$, или если нам надоело видеть композицию, с обычным умножением (дифференциала на число) $dh_x = g'(y) df_x$, и если пользоваться языком немного нестрого, это запишется как $dz = g'(y) dy$. Притом же с нами остался и тот факт, что $dh_x$ действует умножением на $h'(x)$, что нестрого запишется как $dz = h'(x) dx$. Вот и все тёмные места (почти, но дальше я бы предложил не копать).

-- Сб май 16, 2020 22:32:43 --

misha.physics в сообщении #1463236 писал(а):

Пожалуй, скорее, первое. Чтобы считать производные, даже знать и понимать определение дифференциала, по моему мнению, необязательно.

О, ну это пока. Пока известна только производная функции одного аргумента, кажется вполне симпатичным, что это число, и также кажется, что дифференциал какой-то громоздкий и непонятный. Зато если взять производную какой-то более интересной функции, например чтобы $\mathbb R^n\to\mathbb R^m$, то окажется, что дифференциал, как линейное отображение, очень даже кстати, а его матрицу, матрицу Якоби, ну иногда её производной даже не зовут, хотя это зря. Одними частными производными не обойдёшься, тем более что дифференцируемость функции вообще как полезное свойство связана именно с существованием или несуществованием дифференциала, а с частными производными она связана непросто (и неспроста, что можно видеть, выразив их через дифференциал).

-- Сб май 16, 2020 22:35:29 --

И вот там выше композиция у меня неспроста тоже, в общем случае дифференциал композиции будет композицией дифференциалов.

-- Сб май 16, 2020 22:40:49 --

(А тут wishful thinking, верить не обязательно)

То есть немалая часть проблемы может быть в том, что людям (авторам учебных текстов) лень определить удобные операции сразу над линейными функциями, и записать всякие теоремы о дифференциалах с ними без путающих разных переменных для приращений и наверно без $dx, dy, dz$. Ну и получается кошмар. Впрочем многие учебники матанализа как раз вроде прекрасно обходятся с дифференциалами, но не всем везёт на них и не всем они идут (прискорбно, но никакого простого решения в условиях массового образования вроде нет).

[oleg_2]

misha.physics
Моё предположение. Не верьте моему предположению, пока кто-нибудь из математиков не одобрит его. А может, и опровергнет.

Я отбросил малую часть приращений и считаю, что дифференциал, т. е. линейная часть приращения, приблизительно, с достаточной точностью, равен самому приращению. Т. е. $du=\Delta u, dy=\Delta y$.

Я сначала нарисовал график $u(x)$, по нему нашёл значение и приращение функции $u(x)$ на вертикальной оси $u$. Затем перенёс эти значения на горизонтальную ось (косые стрелки на рисунке, масштабы всех осей одинаковые). Нарисовал график $y(u)$ и нашёл значение и приращение функции $y(u)$, они же значение и приращение $y(x)$. Построил по двум точкам график $y(x)$.

[arseniiv]

Если б вы их нарисовали прямыми, всё было бы точно, и показывало бы способ нахождения прямой, угловой коэффициент которой — произведение угловых коэффициентов двух интересующих. А вот что оси делят разные переменные — нехорошо, вот если бы для каждой было бы по оси (а вместо прямых были бы тогда плоскости)… Но всё равно это плохо будет говорить о дифференциалах функций, а не просто композиции двух линейных функций.

oleg_2 в сообщении #1463272 писал(а):

Я отбросил малую часть приращений и считаю, что дифференциал, т. е. линейная часть приращения, приблизительно, с достаточной точностью, равен самому приращению. Т. е. $du=\Delta u, dy=\Delta y$.

Ну лучше бы конечно следить за величинами отбрасываемого, а то вдруг они после каких-то манипуляций окажутся слишком большими (вдруг внесут вклад в линейную часть)? И для лучшей визуализации уже есть такая вещь как касательная к графику в точке, там уже взяли предел и не надо ничего полагать равным.

[oleg_2]

arseniiv в сообщении #1463281 писал(а):

Если б вы их нарисовали прямыми, всё было бы точно, и показывало бы способ нахождения прямой, угловой коэффициент которой — произведение угловых коэффициентов двух интересующих.

Да, так. Я перечитал стартовое сообщение и вижу теперь, что я неправильно понял вопрос темы, и теперь уж жалею, что вклинился. Спасибо за Ваш ответ.

[arseniiv]

Да я тоже не очень вчитывался и пальнул из пушки, вот узнаем насколько мимо и насколько непонятно.

[misha.physics]

arseniiv, oleg_2, спасибо.
Я что-то думал, что существует более простое представление.
Ну теперь я хоть спокойно воспринимаю, что $dy$ для $y=y(x)$ независимой переменной $x$ есть функция от $x$ и $\Delta x$. Т.е. при фиксированном $x$ дифференциал $dy$ линейный по $\Delta x$ и при $\Delta x=0$ имеем $dy=0$.

[deep blue]

misha.physics в сообщении #1463201 писал(а):

а вот графически не могу понять, почему нельзя написать $dy=y'_u\Delta u$

Если все дифференциалы и приращения брать в фиксированной точке $x$, то на графиках, функции $f=dy$ и $f=y'_u\Delta u$ выглядят так:

[misha.physics]

deep blue, спасибо! Я тоже думал, как на одном графике изобразить информацию что $y=y(u(x))$, но не додумался взять $\Delta x$ по обсциссе (брал просто $x$). Теперь понятнее и нагляднее как я хотел (хотя без формул все равно не обойтись), я сформулирую немного по-своему (в другом порядке), мне так понятнее (но это в точности то же, что представляет ваш график).
Итак, придавая приращение независимой переменной $\Delta x$, дифференциал функции $y(x)$ должен быть линейным по $\Delta x$ независимо от наличия промежуточных аргументов (первый важный момент). Выражение $y'_x\Delta x$ линейное по $\Delta x$, дальше $y'_u\cdot du=y'_u\cdot u'_x\Delta x$ тоже линейно по $\Delta x$, и поскольку $y'_u\cdot u'_x=y'_x$, то получаем одинаковые линейные функции, одинаковые прямые (красная на вашем графике). Это и есть $dy$. Рассмотрим теперь $y'_u\Delta u=y'_u(u'_x\Delta x+\alpha\Delta x)=y'_u(u'_x+\alpha)\Delta x$, где $\alpha\to0$ при $\Delta x\to0$, то есть $\alpha$ есть функция от $\Delta x$ (второй важный момент). Значит $y'_u(u'_x+\alpha)\Delta x$ не может быть линейной функцией по $\Delta x$, т.е. это не есть дифференциал $dy$. Это ваша синяя кривая. Видно, что при $\Delta x\to0$ она приближается к красной как и должно быть.

---------------
Ещё хочу уточнить. Дифференциал $dy$ является бесконечно малой величиной того же порядка что и $\Delta x=dx$ при $\Delta x\to0$. Но мы можем рассматривать и конечные значения $dy$ и $\Delta x=dx$, правда? Т.е в формулу $dy=y'_x\Delta x$ подставим конечный $\Delta x$, получим конечный $dy$ и это будет просто конечная линейная часть от $\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)$ в точке $x$, т.е. дифференциал это необязательно всегда бесконечно малая величина? Ведь когда для приближенных вычислений используем $\Delta y\approx dy$, то $dy$ есть конечным и мы называем его дифференциалом. Т.е. дифференциал это функция от $(x,\Delta x)$, являющаяся бесконечно малой при $\Delta x\to0$ того же порядка малости, что и $\Delta x$, но при конечных значениях $\Delta x$ может принимать конечные значения. Так правильно?

И ещё (простите за оффтоп) хочу убедиться в правильном понимании связи между функцией, её пределом и б.м.ф. Когда мы пишем $f(x)=A+\alpha(x)$, где $f(x)\to A$ и $\alpha(x)\to0$ при $x\to x_0$, то это значит, что функция $\alpha(x)$ параллельна $f(x)$, смещена на $A$ и проходит через $(x_0,0)$, так просто?