Дифференциал функции с промежуточным аргументом

[wrest]

misha.physics в сообщении #1463384 писал(а):

Т.е. дифференциал это функция от $(x,\Delta x)$, являющаяся бесконечно малой при $\Delta x\to0$ того же порядка малости, что и $\Delta x$, но при конечных значениях $\Delta x$ может принимать конечные значения. Так правильно?

В целом - да, с оглядкой на существование и конечность производной в точке $x$. Графически -- если в точке $x$ можно провести касательную к графику $y(x)$ и она не вертикальна -- то да.

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1463384 писал(а):

Ещё хочу уточнить. Дифференциал $dy$ является бесконечно малой величиной того же порядка что и $\Delta x=dx$ при $\Delta x\to0$. Но мы можем рассматривать и конечные значения $dy$ и $\Delta x=dx$, правда?

Всегда и рассматриваем. Рассматривай мы только ноль, мы бы не знали значения производной.

misha.physics в сообщении #1463384 писал(а):

И ещё (простите за оффтоп) хочу убедиться в правильном понимании связи между функцией, её пределом и б.м.ф. Когда мы пишем $f(x)=A+\alpha(x)$, где $f(x)\to A$ и $\alpha(x)\to0$ при $x\to x_0$, то это значит, что функция $\alpha(x)$ параллельна $f(x)$, смещена на $A$ и проходит через $(x_0,0)$, так просто?

Я бы сказал раздельнее: во-первых, если $f(x) = A + \alpha(x)$, то график $\alpha$ смещён относительно графика $f$ вниз на $A$. Отдельно, во-вторых, если $\alpha(x_0) = 0$ (равна, не стремится!), то её график конечно проходит через $(x_0, 0)$; но если лишь $\alpha(x)\to0$ при $x\to x_0$, то $(x_0, 0)$ как раз и не обязательно принадлежит её графику. Хотя эта точка будет точкой его прикосновения, то есть на рисунке, если она таки не принадлежит графику, нам придётся явным образом рисовать, что она в график не входит, а то иначе нам покажется, что она туда входит.

[wrest]

misha.physics в сообщении #1463384 писал(а):

Т.е. дифференциал это функция от $(x,\Delta x)$, являющаяся бесконечно малой при $\Delta x\to0$ того же порядка малости, что и $\Delta x$, но при конечных значениях $\Delta x$ может принимать конечные значения. Так правильно?

Я бы ещё добавил пример из жизни. Вот вы едете в автомобиле и смотрите на спидометр, показание которого равно 60. Спидометр показывает вам текущую (в момент времени $t_0$) производную функции пройденного расстояния от времени (=скорость) $s'(t)=v(t);ds(t_0,\Delta t)=s'(t_0)\Delta t=v(t_0)\Delta t$. Умножая скажем на час ($\Delta t=3600$) вы получаете вполне конечное и никак не малое значение приращения пути $ds(t_0,3600)=60000$ И это не приближенное, а точное равенство. Линейная часть приращения пути будет равна именно 60 километрам, а остальное (если за этот час ускорялись, замедлялись и т.п.) -- нелинейная часть.
Другой пример -- вы отпускаете камень в свободное падение с какой-то высоты в момент времени $t_0$. В момент отпускания $t_0$, скорость его нулевая, $s'(t_0)=0$ так что и дифференциал (пройденного пути от времени) нулевой $ds(t_0,\Delta t)=0$ независимо от значения $\Delta t$, и линейная часть приращения пройденного пути - ноль, а всё что пролетит камень за приращение времени $\Delta t$ - нелинейная часть приращения пути.

[deep blue]

misha.physics в сообщении #1463384 писал(а):

Это ваша синяя кривая. Видно, что при $\Delta x\to0$ она приближается к красной как и должно быть.

Не просто приближается, а является касательной в точке х. Если быть еще точнее, то касательной может не существовать, а синяя прямая (дифференциал в точке x) будет иметь иной геометрический смысл.

misha.physics в сообщении #1463384 писал(а):

Ещё хочу уточнить. Дифференциал $dy$ является бесконечно малой величиной того же порядка что и $\Delta x=dx$ при $\Delta x\to0$

За исключением случая, когда дифференциал dy равен нулю. Тогда он другого порядка малости чем $\Delta x=dx$ при $\delta x\to0$

misha.physics в сообщении #1463384 писал(а):

Когда мы пишем $f(x)=A+\alpha(x)$, где $f(x)\to A$ и $\alpha(x)\to0$ при $x\to x_0$, то это значит, что функция $\alpha(x)$ параллельна $f(x)$, смещена на $A$ и проходит через $(x_0,0)$, так просто?

Это значит, что задачу "показать что $f(x) \to A$" свели к более простой "Показать что $f(x)-A \to 0$"

Вот вам еще на будущее:

Дифференциал дифференциала (второй дифференциал) по независимой переменной

$$d(d(y))=d(y_x'dx)$$

Здесь ввиду независимости dx от переменной дифференцирования x, его можно вынести за знак дифференциала

$$d(y_x')dx=y''_xdxdx$$

Фихтенгольц говорит что первое приращение dx должно быть равно второму dx, только так станет возможным повторное дифференцирование.
Но я бы с ним поспорил. Ведь dx в любом случае независимо от x, поэтому дифференцированию по x второй раз ничего не мешает. Более того, если мы согласились что дифференциал это функция от x и от $\Delta x$, то дифференциал дифференциала в точке должен быть функцией от 2-ух независимых приращений $\Delta x$ и повторного $\Delta x$, иначе мы будем противоречить себе.
В последней формуле можно было бы считать приращения $dxdx$ различными, но пользы от этого никакой и для удобства их полагают "независимыми, но равными".

Формула дифференциала дифференциала по зависимому (промежуточному) аргументу

Выводится из дифференциала по независимому аргументу так:

$$d(d(y))=y''_xdxdx=(y'_uu'_x)'dxdx=(y''_uu'_xu'_x+y'_uu''_x)dxdx=(y''_ududu+y'_ud(du))$$

либо из формулы $d(ab)=da\cdot{b}+a\cdot{db}$:

$$d(d(y))=d(y'_udu)=d(y'_u)du+y'_ud(du)=y''_ududu+y'_ud(du)$$

[arseniiv]

deep blue в сообщении #1463516 писал(а):

Если быть еще точнее, то касательной может не существовать, а синяя прямая (дифференциал в точке x) будет иметь иной геометрический смысл.

Погодите, в каких случаях?

[deep blue]

В случае $y=x\sin(\frac{1}{x})$ если $x\neq0$ и $y=0$ при $x=0$.

[Someone]

deep blue в сообщении #1463589 писал(а):

В случае $y=x\sin(\frac{1}{x})$ если $x\neq0$ и $y=0$ при $x=0$.

deep blue
И какая там касательная?
И определение касательной заодно припомните.

[misha.physics]

wrest, спасибо за примеры, понял. Особенно с камнем было интересно.
arseniiv,

arseniiv в сообщении #1463443 писал(а):

Всегда и рассматриваем. Рассматривай мы только ноль, мы бы не знали значения производной.

Не то чтобы только ноль, я просто раньше думал, что дифференциал это что-то сколь угодно близкое к нулю, но не ноль (если производная не равна нулю). Не подумал, что $dx\to0$ значит последовательность конечных $dx$ неограниченно приближающихся к нулю (по Гейне). Будет и соответствующая последовательность конечных $dy$ (и $\Delta y$ тоже). А когда $dy=0$, то $dy$ считается конечной величиной?

arseniiv в сообщении #1463443 писал(а):

но если лишь $\alpha(x)\to0$ при $x\to x_0$, то $(x_0, 0)$ как раз и не обязательно принадлежит её графику

Да, точно.
deep blue,

deep blue в сообщении #1463516 писал(а):

Не просто приближается, а является касательной в точке х.

Да, я имел это ввиду.

deep blue в сообщении #1463516 писал(а):

Фихтенгольц говорит что первое приращение dx должно быть равно второму dx, только так станет возможным повторное дифференцирование.

Мне это тоже не совсем понятно. Особенно, когда пишем $d^2y/dx^2=d^2y/dx\cdot dx$. Но я не очень обратил на это внимание, просто посчитал, что $dx$ там и там стремится к нулю одинаково.

[deep blue]

По определению, касательная это предельное положение секущей. Тогда все в порядке, вы правы.
Я почему-то думал это прерогатива геометрического смысла дифференциала, а касательная это что-то более естественное что можно объяснить дошкольнику .

[wrest]

misha.physics в сообщении #1463597 писал(а):

Особенно, когда пишем $d^2y/dx^2=d^2y/dx\cdot dx$.

Вы с этими записями поосторожней, это не алгебра, не деление, не умножение и не возведение в квадрат.

[arseniiv]

Вообще второй дифференциал это квадратичная форма, и так как у нас тут одномерное пространство, то аналогично первому дифференциалу, для некоторого ненулевого $h$ она имеет простой вид $d^2 f_x(h) = B\, h^2$ (где $B = f''(x)$), так что можно опять (как с первым дифференциалом) рассматривать $\dfrac{d^2f}{dx^2}$ как обычное деление, если только понимать запись $F^2$ для линейной функции $F$ как функцию $h\mapsto F^2(h)$.

А вот как только у нас функция действует из многомерного пространства (например это функция нескольких вещественных аргументов), так сразу деление отваливается ровно по той же причине, по которой нельзя разделить вектор на вектор в многомерном пространстве (в одномерном можно, они там все друг другу пропорциональны).