Теорема Байеса для условных мат. ожиданий

[Plague Doctor]

Добрый день.

Непонятен один момент в доказательстве этой теоремы по Ширяеву.
У него получаются следующие выкладки.
Вначале он приводит формулу для дискретных случайных величин:

$E[g(\theta)|B] = \frac{\int\limits_{-\infty}^{\infty}g(a)P(B|\theta=a)P_{\theta}(da)}{\int\limits_{-\infty}^{\infty}P(B|\theta=a)P_{\theta}(da)}, (\theta = \sum\limits_{i = 1}^{n}a_{i}I_{A_{i}}) $

Далее, эта формула распространяется для любого события $B$ с $P(B)>0$, случайной величины $\theta = \theta(\omega)$ и ф-ции $g = g(a)$ c $ E[g(\theta)] < \infty$.

И затем он рассматривает доказательство этой формулы для $E[g(\theta)|\varphi]$ относительно некоторой $\sigma$ - алгебры $\varphi, \varphi \subseteq F $

Пусть
$Q(B) = \int\limits_{B}^{}g(\theta(\omega))P(d\omega)$ (определена по теореме Радона-Никодима, насколько я понимаю)

По определению условного мат. ожидания случайной величины относительно сигма-алгебры $\varphi (\forall A \in \varphi \int\limits_{A}^{}\xi dP = \int\limits_{A}^{}E(\xi|\varphi)dP) $ и по определению производной Радона-Никодима получаем:

$E[g(\theta)|\varphi](\omega) = \frac{dQ}{dP}(\omega)$

Наряду с $\varphi$ рассмотрим сигма-алгебру $\varphi_{\theta}$
Тогда $( P(A \cap B) = \int\limits_{A}^{}P(B|\varphi)dP ) $ получаем:
$P(B) = \int\limits_{\Omega}^{}P(B|\varphi_{\theta})dP = \int\limits_{-\infty}^{\infty}P(B|\theta=a)P_{\theta}(da)$

И далее, цитата: "поскольку $Q(B) = E[g(\theta)I_{B}] = E[g(\theta)E(I_{B}|\varphi_{\theta})]$"

Откуда следует, что$ E[g(\theta)I_{B}] = E[g(\theta)E(I_{B}|\varphi_{\theta})]$ ?
Если бы $ g(\theta)$ и $ I_{B}$ были независимы, то это можно было бы как-то притянуть за уши, рассматривая $ E[g(\theta)I_{B}] = E[g(\theta)]E(I_{B})$ и далее $ E(E(\xi|\varphi)) = E(\xi)$
Но в данном случае они же зависимы.

Я вначале подумал, что это получено из определения условного мат. ожидания относительно сигма-алгебры ($\int\limits_{A}^{}\xi dP = \int\limits_{A}^{}E(\xi|\varphi)dP $ или в моем случае $\int\limits_{A}^{}I_{B} dP = \int\limits_{A}^{}E(I_{B}|\varphi_{\theta})dP $), но для того, чтобы $I_{B} $ можно было принять за $E(I_{B}|\varphi_{\theta}) $, необходимо, чтобы $I_{B} $ была $\varphi_{\theta} $ - измерима, а это, очевидно, не так.

Как получено это соотношение?

[Lia]

Plague Doctor
Оформите все формулы, пож-ста. И проследите за тем, чтобы в каждой было ровно два доллара - один в начале, один в конце.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Plague Doctor]

Ну, видимо, все просто.

Т.к. $E(E(\xi|\varphi)) = E\xi $
то $E[g(\theta)I_{B}] = E[E(g(\theta)I_{B}|\varphi_{\theta})]$

Далее, т.к. $g(\theta)$ - $\varphi_{\theta}$ - измерима, то ее можно вынести из условного мат. ожидания ($E(\eta\xi|\varphi) = \eta E(\xi|\varphi)$)