2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема Байеса для условных мат. ожиданий
Сообщение15.05.2020, 10:27 


07/11/19
11
Добрый день.

Непонятен один момент в доказательстве этой теоремы по Ширяеву.
У него получаются следующие выкладки.
Вначале он приводит формулу для дискретных случайных величин:

$E[g(\theta)|B] = \frac{\int\limits_{-\infty}^{\infty}g(a)P(B|\theta=a)P_{\theta}(da)}{\int\limits_{-\infty}^{\infty}P(B|\theta=a)P_{\theta}(da)},   (\theta = \sum\limits_{i = 1}^{n}a_{i}I_{A_{i}}) $

Далее, эта формула распространяется для любого события $B$ с $P(B)>0$, случайной величины $\theta = \theta(\omega)$ и ф-ции $g = g(a)$ c $ E[g(\theta)] < \infty$.

И затем он рассматривает доказательство этой формулы для $E[g(\theta)|\varphi]$ относительно некоторой $\sigma$ - алгебры $\varphi, \varphi \subseteq F $

Пусть
$Q(B) = \int\limits_{B}^{}g(\theta(\omega))P(d\omega)$ (определена по теореме Радона-Никодима, насколько я понимаю)

По определению условного мат. ожидания случайной величины относительно сигма-алгебры $\varphi (\forall A \in \varphi \int\limits_{A}^{}\xi dP = \int\limits_{A}^{}E(\xi|\varphi)dP) $ и по определению производной Радона-Никодима получаем:

$E[g(\theta)|\varphi](\omega) = \frac{dQ}{dP}(\omega)$

Наряду с $\varphi$ рассмотрим сигма-алгебру $\varphi_{\theta}$
Тогда $( P(A \cap B) = \int\limits_{A}^{}P(B|\varphi)dP ) $ получаем:
$P(B) = \int\limits_{\Omega}^{}P(B|\varphi_{\theta})dP = \int\limits_{-\infty}^{\infty}P(B|\theta=a)P_{\theta}(da)$

И далее, цитата: "поскольку $Q(B) = E[g(\theta)I_{B}] = E[g(\theta)E(I_{B}|\varphi_{\theta})]$"

Откуда следует, что$ E[g(\theta)I_{B}] = E[g(\theta)E(I_{B}|\varphi_{\theta})]$ ?
Если бы $ g(\theta)$ и $ I_{B}$ были независимы, то это можно было бы как-то притянуть за уши, рассматривая $ E[g(\theta)I_{B}] = E[g(\theta)]E(I_{B})$ и далее $ E(E(\xi|\varphi)) = E(\xi)$
Но в данном случае они же зависимы.

Я вначале подумал, что это получено из определения условного мат. ожидания относительно сигма-алгебры ($\int\limits_{A}^{}\xi dP = \int\limits_{A}^{}E(\xi|\varphi)dP $ или в моем случае $\int\limits_{A}^{}I_{B} dP = \int\limits_{A}^{}E(I_{B}|\varphi_{\theta})dP $), но для того, чтобы $I_{B} $ можно было принять за $E(I_{B}|\varphi_{\theta}) $, необходимо, чтобы $I_{B} $ была $\varphi_{\theta} $ - измерима, а это, очевидно, не так.

Как получено это соотношение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Байеса для условных мат. ожиданий
Сообщение15.05.2020, 11:12 


20/03/14
12041
Plague Doctor
Оформите все формулы, пож-ста. И проследите за тем, чтобы в каждой было ровно два доллара - один в начале, один в конце.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.05.2020, 11:13 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.05.2020, 11:42 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Байеса для условных мат. ожиданий
Сообщение17.05.2020, 22:59 


07/11/19
11
Ну, видимо, все просто.

Т.к. $E(E(\xi|\varphi)) = E\xi $
то $E[g(\theta)I_{B}] = E[E(g(\theta)I_{B}|\varphi_{\theta})]$

Далее, т.к. $g(\theta)$ - $\varphi_{\theta}$ - измерима, то ее можно вынести из условного мат. ожидания ($E(\eta\xi|\varphi) = \eta E(\xi|\varphi)$)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group