Весовое пространство дифференцируемых функций

[novichok2018]

Рассмотрим множество непрерывно дифференцируемых функций на открытом промежутке $x\in(0;1)$, для которых конечна весовая норма по замкнутому промежутку $x\in r=[0;1]$ :

$$ ||f||=\sup_{x\in r} |f(x)x^a| + \sup_{x\in r} |f'(x)x^b|,\ \ a,b>0. $$

Как доказать или опровергнуть полноту такого весового пространства?
Тот же вопрос для произвольного разумного веса.
Как ни странно, не сумел найти ссылок в просмотренных известных книгах, везде вес должен быть отделён от нуля снизу и ограничен сверху, но такая норма эквивалентна обычной невесовой и всё очевидно.

[Red_Herring]

Сделайте замену $g=x^a f$ and $y=x^c$ ($y=\ln (x)$ при $b=a+1$)

[pogulyat_vyshel]

novichok2018 в сообщении #1462940 писал(а):

на открытом промежутке

novichok2018 в сообщении #1462940 писал(а):

по замкнутому промежутку

свидетель путается в показаниях
на всякий случай, если исходно рассматриваются функции определенные на замкнутом промежутке, то такая норма очевидно не полна

-- 15.05.2020, 18:30 --

novichok2018 в сообщении #1462940 писал(а):

Как ни странно, не сумел найти ссылок в просмотренных известных книгах

ну вообще вводить банахово пространство функций с контролируемыми особенностями это очень банальный трюк

[novichok2018]

Свидетель не совсем путается. Правый конец нам не важен с таким весом, ну пусть с самого начала он входит. А с левым в нуле - вроде всё старался аккуратно написать. Для функций типа $1/x$ нужно требовать определение на открытом, а указанный супремум по замкнутому вроде существует. А почему с исходным по замкнутому неполна?
Таких пространств полно во всех книгах, но типа Соболева. Задали мне вопрос про более простое, как написано, сразу непонятно. Вопрос кстати грамотный математик задал (не я).

[pogulyat_vyshel]

В осмысленном варианте это могло звучать бы так. Рассмотрим пространство
$X=\{u\in C^1(0,1)\cap C(0,1]\mid\|u\|<\infty\},$ где
$\|u\|=\sup_{x\in(0,1]}|u(x)|x^a+\sup_{x\in(0,1)}|u'(x)|x^b$ Такое пространство полно.

-- 15.05.2020, 20:57 --

а вот такое пространство
$\tilde X=\{u\in C^1(0,1)\cap C[0,1]\mid\|u\|<\infty\}$ неполно вообще говоря. Что бы разобраться что происходит сперва разберите случай пространства
$Y=\{u\in C(0,1]\mid\|u\|_*=\sup_{x\in(0,1]}|u(x)|x^a<\infty\}$

[novichok2018]

Если я не умею доказывать ни первого ни второго - мне можно как-то помочь?