2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Весовое пространство дифференцируемых функций
Сообщение15.05.2020, 14:38 
Заблокирован


16/04/18

1129
Рассмотрим множество непрерывно дифференцируемых функций на открытом промежутке $x\in(0;1)$, для которых конечна весовая норма по замкнутому промежутку $x\in r=[0;1]$ :
$$
||f||=\sup_{x\in r} |f(x)x^a| + \sup_{x\in r} |f'(x)x^b|,\ \ a,b>0.
$$
Как доказать или опровергнуть полноту такого весового пространства?
Тот же вопрос для произвольного разумного веса.
Как ни странно, не сумел найти ссылок в просмотренных известных книгах, везде вес должен быть отделён от нуля снизу и ограничен сверху, но такая норма эквивалентна обычной невесовой и всё очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Весовое пространство дифференцируемых функций
Сообщение15.05.2020, 15:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Сделайте замену $g=x^a f$ and $y=x^c$ ($y=\ln (x)$ при $b=a+1$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Весовое пространство дифференцируемых функций
Сообщение15.05.2020, 17:26 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
novichok2018 в сообщении #1462940 писал(а):
на открытом промежутке

novichok2018 в сообщении #1462940 писал(а):
по замкнутому промежутку


свидетель путается в показаниях
на всякий случай, если исходно рассматриваются функции определенные на замкнутом промежутке, то такая норма очевидно не полна

-- 15.05.2020, 18:30 --

novichok2018 в сообщении #1462940 писал(а):
Как ни странно, не сумел найти ссылок в просмотренных известных книгах


ну вообще вводить банахово пространство функций с контролируемыми особенностями это очень банальный трюк

 Профиль  
                  
 
 Re: Весовое пространство дифференцируемых функций
Сообщение15.05.2020, 19:28 
Заблокирован


16/04/18

1129
Свидетель не совсем путается. Правый конец нам не важен с таким весом, ну пусть с самого начала он входит. А с левым в нуле - вроде всё старался аккуратно написать. Для функций типа $1/x$ нужно требовать определение на открытом, а указанный супремум по замкнутому вроде существует. А почему с исходным по замкнутому неполна?
Таких пространств полно во всех книгах, но типа Соболева. Задали мне вопрос про более простое, как написано, сразу непонятно. Вопрос кстати грамотный математик задал (не я).

 Профиль  
                  
 
 Re: Весовое пространство дифференцируемых функций
Сообщение15.05.2020, 19:41 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
В осмысленном варианте это могло звучать бы так. Рассмотрим пространство
$X=\{u\in C^1(0,1)\cap C(0,1]\mid\|u\|<\infty\},$ где
$\|u\|=\sup_{x\in(0,1]}|u(x)|x^a+\sup_{x\in(0,1)}|u'(x)|x^b$ Такое пространство полно.

-- 15.05.2020, 20:57 --

а вот такое пространство
$\tilde X=\{u\in C^1(0,1)\cap C[0,1]\mid\|u\|<\infty\}$ неполно вообще говоря. Что бы разобраться что происходит сперва разберите случай пространства
$Y=\{u\in C(0,1]\mid\|u\|_*=\sup_{x\in(0,1]}|u(x)|x^a<\infty\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Весовое пространство дифференцируемых функций
Сообщение15.05.2020, 20:36 
Заблокирован


16/04/18

1129
Если я не умею доказывать ни первого ни второго - мне можно как-то помочь?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group