2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Весовое пространство дифференцируемых функций
Сообщение15.05.2020, 14:38 
Рассмотрим множество непрерывно дифференцируемых функций на открытом промежутке $x\in(0;1)$, для которых конечна весовая норма по замкнутому промежутку $x\in r=[0;1]$ :
$$
||f||=\sup_{x\in r} |f(x)x^a| + \sup_{x\in r} |f'(x)x^b|,\ \ a,b>0.
$$
Как доказать или опровергнуть полноту такого весового пространства?
Тот же вопрос для произвольного разумного веса.
Как ни странно, не сумел найти ссылок в просмотренных известных книгах, везде вес должен быть отделён от нуля снизу и ограничен сверху, но такая норма эквивалентна обычной невесовой и всё очевидно.

 
 
 
 Re: Весовое пространство дифференцируемых функций
Сообщение15.05.2020, 15:12 
Аватара пользователя
Сделайте замену $g=x^a f$ and $y=x^c$ ($y=\ln (x)$ при $b=a+1$)

 
 
 
 Re: Весовое пространство дифференцируемых функций
Сообщение15.05.2020, 17:26 
Аватара пользователя
novichok2018 в сообщении #1462940 писал(а):
на открытом промежутке

novichok2018 в сообщении #1462940 писал(а):
по замкнутому промежутку


свидетель путается в показаниях
на всякий случай, если исходно рассматриваются функции определенные на замкнутом промежутке, то такая норма очевидно не полна

-- 15.05.2020, 18:30 --

novichok2018 в сообщении #1462940 писал(а):
Как ни странно, не сумел найти ссылок в просмотренных известных книгах


ну вообще вводить банахово пространство функций с контролируемыми особенностями это очень банальный трюк

 
 
 
 Re: Весовое пространство дифференцируемых функций
Сообщение15.05.2020, 19:28 
Свидетель не совсем путается. Правый конец нам не важен с таким весом, ну пусть с самого начала он входит. А с левым в нуле - вроде всё старался аккуратно написать. Для функций типа $1/x$ нужно требовать определение на открытом, а указанный супремум по замкнутому вроде существует. А почему с исходным по замкнутому неполна?
Таких пространств полно во всех книгах, но типа Соболева. Задали мне вопрос про более простое, как написано, сразу непонятно. Вопрос кстати грамотный математик задал (не я).

 
 
 
 Re: Весовое пространство дифференцируемых функций
Сообщение15.05.2020, 19:41 
Аватара пользователя
В осмысленном варианте это могло звучать бы так. Рассмотрим пространство
$X=\{u\in C^1(0,1)\cap C(0,1]\mid\|u\|<\infty\},$ где
$\|u\|=\sup_{x\in(0,1]}|u(x)|x^a+\sup_{x\in(0,1)}|u'(x)|x^b$ Такое пространство полно.

-- 15.05.2020, 20:57 --

а вот такое пространство
$\tilde X=\{u\in C^1(0,1)\cap C[0,1]\mid\|u\|<\infty\}$ неполно вообще говоря. Что бы разобраться что происходит сперва разберите случай пространства
$Y=\{u\in C(0,1]\mid\|u\|_*=\sup_{x\in(0,1]}|u(x)|x^a<\infty\}$

 
 
 
 Re: Весовое пространство дифференцируемых функций
Сообщение15.05.2020, 20:36 
Если я не умею доказывать ни первого ни второго - мне можно как-то помочь?

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group