2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение09.05.2020, 10:07 


13/05/16
355
Москва
Tot в сообщении #1460379 писал(а):
Уважаемые форумчане, покритикуйте, пожалуйста, моё доказательство!

Я правильно понимаю, что в случае ВТФ3 у вас число справа четное и случай, когда оно нечетно вы не рассматривали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение09.05.2020, 11:17 


08/12/13
252
Уважаемый Antoshka, будьте внимательнее!
Tot в сообщении #1459521 писал(а):
Нет. Представьте в натуральных числах два слагаемых и сумму. Если сумма чётна, то это наш случай со знаком "плюс". Если чётно слагаемое, то нечётное слагаемое переносим в другую сторону и получаем наш случай со знаком "минус".


-- 09.05.2020, 11:23 --

Чтобы тема раньше времени не замылилась, на каждой новой странице буду давать ссылку на оглавление доказательства.
Оглавление.
Tot в сообщении #1459824 писал(а):
Доказательство ВТФ и гипотезы Биля методом бесконечного спуска.

Кубический ВТФ - первое сообщение на странице 21.
Tot в сообщении #1460379 писал(а):
Уважаемые форумчане, покритикуйте, пожалуйста, моё доказательство!

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение09.05.2020, 18:55 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Tot в сообщении #1460379 писал(а):
Уважаемые форумчане, покритикуйте, пожалуйста, моё доказательство!
Какой нам с этого интерес? Просто так искать ошибки стало скучно.
Давайте так - после указания на ошибку вы не пишете в этой теме неделю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение09.05.2020, 19:10 


08/12/13
252
Согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение10.05.2020, 00:16 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Tot в сообщении #1459090 писал(а):
4] Случай разности двух нечётных биквадратов.
Окей, здесь вы, для начала, не доказали, что:
$$\gcd(a^2+b^2,a^2-b^2)=2$$
Зачем-то используете $n$, когда оно равно $4$.

Но, главное, вы не рассмотрели очевидный случай:
$$\begin{cases} a^2-b^2=2^{4s-1}c_1^4 \\ a^2+b^2=2c_2^4 \end{cases}$$
$$c_1\cdot c_2=c$$
$$\gcd(c_1,c_2)=1$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение10.05.2020, 03:25 


08/12/13
252
venco в сообщении #1461464 писал(а):
Зачем-то используете $n$, когда оно равно $4$.

Рассматривается гипотеза Биля, а не теорема Ферма.
Этот вариант - рудимент с прошлых лет этой темы, просто там его никто проверять не стал.
В общем-то этот вариант в таком виде совсем не нужен. На бумаге разность биквадратов я рассматривал в том же ключе, что и случай с нечётной степенью. Просто там нечётный и чётный $n$ нужно рассматривать отдельно, поэтому поленился и поплатился.
Вы указали не ошибку, а недочёт в доказательстве случая, который в принципе не нужен, он рассматривается лишь для полноты картины.
Но, если угодно, будем считать, что пари на $168$ часовое молчание в этой теме я проиграл, этот момент как раз без разницы. Если пожелаете, можем продолжить пари на общение раз в неделю до выявления неустранимой ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение20.05.2020, 14:11 


08/12/13
252
4] Случай разности двух нечётных биквадратов.
4.1] при чётном биквадрате
$$a^4-b^4=2^{4s}c^4 \eqno(4.1.1)$$
$a,b,c,s\in\mathbb N$; $a\mod 2\equiv b\mod 2 \equiv c\mod 2 \equiv 1$.
$a,b,c$ не имеют общего делителя, его сокращаем.
Доказать отсутствие решений.
$$(\frac{a}{c})^4 - (\frac{b}{c})^4\equiv 2^{4s}\mod 2^t \eqno(4.1.2)$$
$t\in\mathbb N$; $t>4s$
Возведём (4.1.2) в квадрат.
$$(\frac{a}{c})^{8}+(\frac{b}{c})^{8}\equiv 2^{8s} + 2(\frac{ab}{c^2})^4\mod 2^t \equiv A_1 \eqno(4.1.3)$$
Согласно (4.1.2)
$$(\frac{a}{c})^4 - (\frac{b}{c})^4\equiv 0\mod 2^{4s}$$
Значит $$2(\frac{ab}{c^2})^4\mod 2^{4s+1}\equiv 2(\frac{b}{c})^{8} $$
Поэтому $$A_1\mod 32 \equiv 2 \eqno(4.1.4)$$
Всегда выполняется условие $$32\leq 2^{4s+1}$$
Возведём (4.1.3) в квадрат.
$$(\frac{a}{c})^{16}+(\frac{b}{c})^{16}\equiv A_1^2-2(\frac{ab}{c^2})^{8}\mod 2^t \equiv A_2 \eqno(4.1.5)$$
Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к
$$A_2\mod 32 \equiv 2 \eqno(4.1.6)$$
Продолжим возводить в квадрат и проводить такие же рассуждения.
$$...$$
$$(\frac{a}{c})^{2^{t-6}4}+(\frac{b}{c})^{2^{t-6}4}\equiv A_{t-7}^2-2(\frac{ab}{c^2})^{2^{t-7}4}\mod 2^t \equiv A_{t-6} \eqno(4.1.7)$$
Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к
$$A_{t-6}\mod 32 \equiv 2 \eqno(4.1.8)$$
Возведём (4.1.7) в квадрат.
$$(\frac{a}{c})^{2^{t-5}4}+(\frac{b}{c})^{2^{t-5}4}\equiv A_{t-6}^2-2(\frac{ab}{c^2})^{2^{t-6}4}\mod 2^t \equiv A_{t-5} \eqno(4.1.9)$$
Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к
$$A_{t-5}\mod 32 \equiv 2 \eqno(4.1.10)$$
Если $x\in\mathbb N; 2\leq t; x\mod 2 \equiv 1$, то $x^{2^{t-4}4}\mod 2^t\equiv 1$.
Сдвинем оба слагаемых (4.1.9) на степень $2^{t-4}4$ и перевернём их.
Из-за (4.1.10) имеем $$(\frac{ab}{c^2})^{2^{t-5}4}\equiv 1\mod 2^t\eqno(4.1.11)$$
Сопоставим (4.1.11) и (4.1.9), отсюда $$(\frac{a}{c})^{2^{t-5}4}\equiv(\frac{b}{c})^{2^{t-5}4}\equiv 1\mod 2^t\eqno(4.1.12)$$
Используем (4.1.12) следующим образом.
Сдвинем оба слагаемых (4.1.7) на степень $2^{t-5}4$ и перевернём их.
Из-за (4.1.8) имеем $$(\frac{ab}{c^2})^{2^{t-6}4}\equiv 1\mod 2^t\eqno(4.1.13)$$
Сопоставим (4.1.13) и (4.1.7), отсюда $$(\frac{a}{c})^{2^{t-6}4}\equiv(\frac{b}{c})^{2^{t-6}4}\equiv 1\mod 2^t\eqno(4.1.14)$$
$$...$$
По (4.1.3) получаем $$(\frac{a}{c})^{8}\equiv(\frac{b}{c})^{8}\equiv 1\mod 2^t\eqno(4.1.15)$$
Из (4.1.15) следует $$(\frac{a}{c})^{4}\equiv\pm 1\mod 2^t; (\frac{b}{c})^{4}\equiv\pm 1\mod 2^t\eqno(4.1.16)$$
Однако (4.1.16) и (4.1.2) противоречат друг другу.
Утверждение об отсутствии решений доказано.
4.2] при отсутствии чётного биквадрата
$$a^4-b^4=2^{sq}c^q \eqno(4.2.1)$$
$q\in \mathbb P \setminus \{2\}$;
$a,b,c,s\in\mathbb N$; $a\mod 2\equiv b\mod 2 \equiv c\mod 2 \equiv 1$.
Доказать отсутствие решений при отсутствии общего делителя тройки Биля $a,b,c$.
$$\frac{a^4}{c^q} - \frac{b^4}{c^q}\equiv 2^{qs}\mod C^{\alpha+1}2^t \eqno(4.2.2)$$
$t,\alpha \in\mathbb N$; $t>qs$; $(a,b,c)=C^\alpha$
Возведём (4.2.2) в квадрат.
$$(\frac{a^4}{c^q})^{2}+(\frac{b^4}{c^q})^{2}\equiv 2^{2qs} + 2\frac{a^4b^4}{c^{2q}}\mod C^{\alpha+1}2^t \equiv A_1 \eqno(4.2.3)$$
Согласно (4.2.2)
$$\frac{a^4}{c^q} - \frac{b^4}{c^q}\equiv 0\mod2^{qs}$$
Значит $$2\frac{a^4b^4}{c^{2q}}\mod 2^{qs+1}\equiv 2(\frac{a^4}{c^q})^{2} $$
Поэтому $$A_1\mod 16 \equiv 2 \eqno(4.2.4)$$
Всегда выполняется условие $$16\leq 2^{qs+1}$$
Возведём (4.2.3) в квадрат.
$$(\frac{a^4}{c^q})^{4}+(\frac{b^4}{c^q})^{4}\equiv A_1^2-2(\frac{a^4b^4}{c^{2q}})^{2}\mod C^{\alpha+1}2^t \equiv A_2 \eqno(4.2.5)$$
Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к
$$A_2\mod 16 \equiv 2 \eqno(4.2.6)$$
Продолжим возводить в квадрат и проводить такие же рассуждения.
$$...$$
$$(\frac{a^4}{c^q})^{2^{t-5}}+(\frac{b^4}{c^q})^{2^{t-5}}\equiv A_{t-6}^2-2(\frac{a^4b^4}{c^{2q}})^{2^{t-6}}\mod C^{\alpha+1}2^t \equiv A_{t-5} \eqno(4.2.7)$$
Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к
$$A_{t-5}\mod 16 \equiv 2 \eqno(4.2.8)$$
Если $x,y\in\mathbb N; 4\leq t; x\mod 2\equiv y\mod 2 \equiv 1$, то $x^{2^{t-2}y}\mod 2^t\equiv 1$, а $x^{2^{t-4}4}\mod 2^t\equiv 1$.
Дальнейшие операции возможны лишь при $C=1$.
Возведём (4.2.7) в квадрат.
$$\frac{2}{c^{2^{t-4}q}}\equiv A_{t-5}^2-2(\frac{a^4b^4}{c^{2q}})^{2^{t-5}}\mod C^{\alpha+1}2^t \equiv A_{t-4} \eqno(4.2.9)$$
Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к
$$A_{t-4}\mod 16 \equiv 2 \eqno(4.2.10)$$
Возведём (4.2.9) в квадрат.
$$\frac{2}{c^{2^{t-3}q}}\equiv A_{t-4}^2-\frac{2}{c^{2^{t-3}q}}\mod C^{\alpha+1}2^t \equiv A_{t-3} \eqno(4.2.11)$$
Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к
$$A_{t-3}\mod 16 \equiv 2 \eqno(4.2.12)$$
Из-за (4.2.12) имеем $$c^{2^{t-3}q}\equiv 1\mod C^{\alpha+1}2^t\eqno(4.2.13)$$
Преобразуем (4.2.9) на основе (4.2.13).
Из-за (4.2.10) имеем $$c^{2^{t-4}q}\equiv 1\mod C^{\alpha+1}2^t\eqno(4.2.14)$$
Преобразуем (4.2.7) на основе (4.2.14).
Из-за (4.2.8) имеем $$(\frac{a^4b^4}{c^{2q}})^{2^{t-5}}\equiv 1\mod C^{\alpha+1}2^t\eqno(4.2.15)$$
Сопоставим (4.2.15) и (4.2.7), отсюда $$(\frac{a^4}{c^q})^{2^{t-5}}\equiv (\frac{b^4}{c^q})^{2^{t-5}}\equiv 1\mod C^{\alpha+1}2^t\eqno(4.2.16)$$
$$...$$
По (4.2.3) получаем $$(\frac{a^4}{c^q})^{2}\equiv(\frac{b^4}{c^q})^{2}\equiv 1\mod C^{\alpha+1}2^t\eqno(4.2.17)$$
Из (4.2.17) следует $$\frac{a^4}{c^q}\equiv\pm 1\mod C^{\alpha+1}2^t; \frac{b^4}{c^q}\equiv\pm 1\mod C^{\alpha+1}2^t\eqno(4.2.18)$$
Однако (4.2.18) и (4.2.2) противоречат друг другу.
Утверждение об отсутствии решений доказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение20.05.2020, 16:03 


08/12/13
252
Доказательство ВТФ и гипотезы Биля методом бесконечного спуска.
Tot в сообщении #1458887 писал(а):
1] Формулировка ВТФ.

Tot в сообщении #1459081 писал(а):
2] Формулировка гипотезы Биля.

Tot в сообщении #1459081 писал(а):
3] Случай суммы двух нечётных биквадратов.

Tot в сообщении #1464117 писал(а):
4] Случай разности двух нечётных биквадратов.

Tot в сообщении #1459496 писал(а):
без номера] Кубический ВТФ.

Tot в сообщении #1459505 писал(а):
5] Бесконечный спуск нечётного случая ВТФ.

Tot в сообщении #1459543 писал(а):
6] Три нечётных степени.

Tot в сообщении #1459594 писал(а):
7] Чётный биквадрат.

Tot в сообщении #1459599 писал(а):
8] Нечётный биквадрат.

Tot в сообщении #1459611 писал(а):
9] Нечётный и чётный биквадраты.


Заменил рудиментный алгебраический вариант случая двух нечётных биквадратов на актуальный методом бесконечного спуска.
Наверное стоит написать компактное рассмотрение гипотезы Биля методом бесконечного спуска с разбиением не на случаи различных комбинаций биквадратов, а с разбиением на сумму двух нечётных биквадратов и все остальные в общем виде. Такое рассмотрение будет короче раза в три, но несколько сложнее для восприятия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение22.05.2020, 08:54 


08/12/13
252
Самостоятельно нашёл изъян в своих рассуждениях. Но пока не понял, является ли он фатальным, так что перерыв.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение24.10.2020, 13:55 


08/12/13
252
Подведу итог майскому рассмотрению.
Вот при рассмотрении по модулю у ВТФ есть два варианта разложения.
По модулю степени двойки один из этих вариантов в этой теме несколько лет назад привёл
к делителям нуля, "вылезшим" из младших битов.
Второй вариант рассмотрел в мае, там та же проблема вылезла из старших битов. В этом варианте очень сильно мешает смешение отрицательных и положительных чисел по модулю. Отсутствие разделения по знаку мешает отделить зёрна от плевел. Но введение знакового бита по модулю степени двойки не поможет избавиться от делителей нуля, проблема в таком случае просто перейдёт со старшего бита в предстарший, он же старший незнаковый бит. Однако эта сложность исчезнет, если модуль будет нечётным, а функция Эйлера по-прежнему останется степенью двойки. Поэтому получается, что при использовании остатков со знаковым битом нужно свести нечётный случай ВТФ, а с ним и гипотезу Биля случая не более одного биквадрата
к гипотезе о бесконечности простых чисел Ферма. Как время появится, рассмотрю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 325 ]  На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group