Потокосцепление при соединении катушек индуктивности

[Solaris86]

Не, с такими темпами я месяц буду решать это уравнение...
Подскажите книги по ТОЭ (как можно более древние), где цепи решаются через дифуры без всяких лайфхаков типа комплексных амплитуд и т.п.

[realeugene]

Solaris86 в сообщении #1460968 писал(а):

где цепи решаются через дифуры без всяких лайфхаков типа комплексных амплитуд и т.п.

Эти дифуры через комплексные амплитуды решать гораздо проще. Но вам и не нужно их решать. Вам нужно найти условия, при которых одинаковые $u_0(t)$ дадут одинаковые $i(t)$.

[Solaris86]

realeugene в сообщении #1460970 писал(а):

Вам нужно найти условия, при которых одинаковые $u_0(t)$ дадут одинаковые $i(t)$.

Не понял, что вы имели в виду.

[realeugene]

Solaris86 в сообщении #1461010 писал(а):

Не понял, что вы имели в виду.

Вы ищете эквивалентную индуктивность, котрой можно заменить несколько соединённых впараллель индуктивностей. Записываете два дифура для исходной схемы и для эквивалентной и ищете условия, при которых такая замена возможна, т. е. когда у дифуров будут одинаковые решения вне зависимости от входного напряжения.

[Solaris86]

А, теперь понял.
Всё же по моему дифуру:

$i_R(t)R + L\frac{di_L(t)}{dt} = u_0(t)$
Напомню условия задачи
$u_0(t) = 5\cos2 \pi t$
$R = 1 \text {Ом}$
$L = \frac{2}{3} \text {Гн}$
Как дальше решать уравнение?
Сделать его однородным?
$L\frac{di_L(t)}{dt} + i_R(t)R = 0$
Подставляю значения:
$\frac{2}{3}i'_L (t)+ i_R(t) = 0$
$2i'_L(t) + 3i_R(t) = 0$
Токи эти равны: $i_L (t) = i_R (t) = i(t)$
$2i'(t) + 3i(t) = 0$
$i(t) = Ce^{-\frac{3}{2}t}$
А дальше как?

-- 07.05.2020, 23:08 --

$\frac{2}{3}i'(t)+ i(t) = 5\cos2 \pi t$
Идеи закончились.

-- 07.05.2020, 23:22 --

Хотя кто-то писал про мгновенное значение...
Допустим, момент времени $t=0$
$\frac{2}{3}i'(0)+ i(0) = 5\cos2 \pi 0$
$\frac{2}{3}i'(0)+ i(0) = 5$
$2i'(0)+ 3i(0) = 15$
$i(0) = Ce^{-\frac{3}{2}}+5$
В общем, получилась какая-то ерунда...

DimaM в сообщении #1460955 писал(а):

Решением линейного неоднородного ОДУ является сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

А разве такое решение годится для ЛНДУ 1 порядка? Для ЛНДУ 1 порядка видел метод интегрирующего множителя, метод Бернулли и метод Лагранжа...
Или Вы писали для случая, когда цепь второго порядка с двумя индуктивностями?

[arseniiv]

Solaris86 в сообщении #1461034 писал(а):

А разве такое решение годится для ЛНДУ 1 порядка?

Для любого линейного неоднородного. Сравните это кстати с решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений (или линейного неоднородного уравнения в произвольном векторном пространстве) — то же самое (и неспроста!).

[DimaM]

Solaris86 в сообщении #1461034 писал(а):

$\frac{2}{3}i'(t)+ i(t) = 5\cos2 \pi t$
Идеи закончились.

Здравый смысл подсказывает, что решение следует искать в виде $A\cos 2\pi t +B\sin 2\pi t$ (или эквивалентно в виде $D\cos(2\pi t+\varphi)$).

[Solaris86]

arseniiv в сообщении #1461047 писал(а):

Для любого линейного неоднородного. Сравните это кстати с решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений (или линейного неоднородного уравнения в произвольном векторном пространстве) — то же самое (и неспроста!).

Этот момент про алгебраические уравнения также всегда был неясен.
Ну вот школьная система линейных неоднородных уравнений:

$$ \begin{cases} 3x+y=9\\ 2x-y=1 \end{cases} $$

Общее решение неоднородного уравнения несложное: $x=2, y=3$
А если через общее решение однородного и частное решение неоднородного?

$$ \begin{cases} 3x+y=0\\ 2x-y=0 \end{cases} $$

И как дальше?

-- 08.05.2020, 08:31 --

DimaM в сообщении #1461086 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1461034

писал(а):
$\frac{2}{3}i'(t)+ i(t) = 5\cos2 \pi t$
Идеи закончились.
Здравый смысл подсказывает, что решение следует искать в виде $A\cos 2\pi t +B\sin 2\pi t$ (или эквивалентно в виде $D\cos(2\pi t+\varphi)$).

Онлайн решебник выдал вот такое решение:
$i(t) = (C + \frac{60 \pi e^{\frac{3}{2}t} \sin 2 \pi t}{9+16 \pi^2} + \frac{45 \pi e^{\frac{3}{2}t} \cos 2 \pi t}{9+16 \pi^2})e^{-\frac{3}{2}t}$
Ну это же не может быть так?!

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1461088 писал(а):

Онлайн решебник выдал вот такое решение:
$i(t) = (C + \frac{60 \pi e^{\frac{3}{2}t} \sin 2 \pi t}{9+16 \pi^2} + \frac{45 \pi e^{\frac{3}{2}t} \cos 2 \pi t}{9+16 \pi^2})e^{-\frac{3}{2}t}$
Ну это же не может быть так?!

Может. Раскройте скобки и все должно стать ясно.

[Евгений Машеров]

Сугубое ИМХО.
0. Рассматривать индуктивность в цепях постоянного тока - даже не онанизм, от того удовольствие бывает, а лишь бессмысленные телодвижения. Если катушка индуктивности в цепи постоянного тока - она всего лишь хитровывернутый резистор. Особые для индуктивности свойства проявляются при изменениях тока через неё или напряжения на ней (ну и с конденсатором то же самое).
1. Поэтому полное описание свойств индуктивности требует использования дифуравнений. Если у нас, помимо конденсаторов и индуктивностей (и активных элементов) есть нелинейные элементы - нам ничего не остаётся, кроме как решать дифуры в общем виде.
2. Однако если мы можем пренебречь нелинейностью, то к нам на помощь прилетает капитан Эйлер (в нашем Отражении даже лейтенантом флота не ставший) и рассказывает, что $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, а экспонента при дифференцировании и интегрировании переходит в экспоненту, только множитель вываливается наружу. То есть конденсаторы и катушки могут для тока известной частоты рассматриваться так же, как обычные резисторы, только с комплексным сопротивлением. И получаем почти такой же простой расчёт на основе законов Кирхгофа, только надо привыкнуть к комплексным числам.
3. Для колебаний сложной формы надо их рассматривать, как сумму синусоид разной частоты, и для каждой из частот считать отдельно, но самый важный для практической электротехники случай - синусоида известной частоты. И расчёт совсем прост. Только надо понимать смысл двух представлений комплексных чисел, догадываясь, что с этой точки зрения сдвиг фазы колебания.
4. Но для поставленного ТС вопроса можно упростить ещё более. Вообще не задумываться о фазе (не забыть, а помнить, что она есть, но нас не волнует, она одинаковая для напряжений на всех параллельно подключенных индуктивностях и одинаковая для всех протекающих через них токов). И работать только с амплитудами напряжения (одинакового на всех параллельно подключённых катушках) и протекающих через катушки токов. А закон Ома для реактивного сопротивления переменному току, в сущности, тот же. Ток это напряжение делить на сопротивление. А токи распараллеливаются, суммарный ток - сумма обратных реактивному сопротивлению отдельных индуктивностей токов через параллельно включённые катушки. И если мы ищем эквивалентную индуктивность L, то напряжение на ней, равное напряжению на всех параллельно включённых индуктивностях, должно вызвать ток, равный суммарному току через отдельные индуктивности $L_i$
$\frac U {\omega L}=\frac U {\omega L_1}+\frac U {\omega L_1}+\cdots+\frac U {\omega L_n}$
И, сократив напряжению и (угловую) частоту омега, приходим к искомому.
5. Пределы этого рассуждения - неучёт активных сопротивлений и взаимной индуктивности катушек, если надо с этим работать - Кирхгоф с комплексными токами и напряжениями, если появляется нелинейность (скажем, у катушек ферромагнитный сердечник, и он близок к насыщению) - дифуры общего вида, но если полагать нелинейность небольшой, считая, что она порождает гармоники небольшой сравнительно с основным сигналом амплитуды и делая для них аналогичный расчёт для каждой гармоники,можно получить практически достаточное решение Кирхгофом.

[DimaM]

Solaris86 в сообщении #1461088 писал(а):

Онлайн решебник

[Solaris86]

DimaM в сообщении #1461101 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1461088 писал(а):

Онлайн решебник

Ну, как умею, так и решаю... Дифуры пока тема для меня неприступная.
Я просто не могу понять методологию, общий подход их решения.
Есть же какие-то выводы методов решения дифуров, чтобы не просто набор сухих фактов, мол, делай так и так, а хоть какая-то логическая цепочка.
Во всех учебниках как под копирку одно и тоже, акцент не на доходчивости объяснения, а на строгости и научности изложения.
Если бы я понял, как решать, я бы тут не писал.
Мне нужен вывод того, почему неоднородное уравнение любого порядка решается через общее решение однородного и частное решение неоднородного. В противном случая я вообще, не понимаю, что делаю, когда решаю уравнение, остаётся только зубрить методы решения для каждого вида дифура. Но если вдруг забыл, то ЛОГИЧЕСКИ уже не выведешь решение, потому что не понимал суть, памяти даже не за что было зацепиться логически, чтобы потом можно было восстановить забытый метод решения.
Вот Бернулли и Лагранж они же не от балды свои методы придумали. В каких книгах можно найти подробный вывод их методов, как они размышляли, двигаясь шаг за шагом...
Ей-богу, дифуры - это какое-то проклятье... Подавляющее большинство их решает, механически запоминая способы, пока идёт матан, но если через год в отсутствии практики у человека попросить снова решить дифур, восстановив способ решения по памяти, то большинство не сможет этого сделать, потому что всё ВЫЗУБРЕННОЕ вышибло из памяти...

[realeugene]

Solaris86 в сообщении #1461111 писал(а):

Мне нужен вывод того, почему неоднородное уравнение любого порядка решается через общее решение однородного и частное решение неоднородного.

Это общее свойство линейных неоднородных уравнений, не обязательно дифференциальных. Чтобы это понять, вам нужно сначала разобраться с понятием линейности. Выучив его определение и проверив, что рассматриваемая вами система ему удовлетворяет.

Solaris86 в сообщении #1461111 писал(а):

В каких книгах можно найти подробный вывод их методов, как они размышляли, двигаясь шаг за шагом...

Как правило, первооткрыватели двигались гораздо более кружными путями, чем излагается в современных учебниках. Первооткрыватели не знали, куда им нужно прийти, и могли потратить на этот путь всю свою жизнь, а современные преподаватели знают, как научить студента этому за семестр. Как правило, труды первооткрывателей можно читать только после изучения современных учебников.

[Solaris86]

realeugene в сообщении #1461119 писал(а):

Это общее свойство линейных неоднородных уравнений, не обязательно дифференциальных. Чтобы это понять, вам нужно сначала разобраться с понятием линейности. Выучив его определение и проверив, что рассматриваемая вами система ему удовлетворяет.

По поводу линейности нашёл 2 определения:
1. Линейное уравнение - это уравнение, степень многочленов которого 1.
Пример: $y + 3xy = 2x$
2. Линейное уравнение - это уравнение, ПОЛНАЯ степень многочленов которого 1.
Пример: $y + 3z = 2x$
По второму определению уравнение $y + 3xy = 2x$ не относится к линейным, так как полная степень члена $3xy$ - 2.
Однако в учебниках по дифурам к линейным ДУ относятся ДУ вида $y' + p(x)y = g(x)$, где $p(x)$ и $g(x)$ - заданные функции, в частности - постоянные, и в качестве примера приведено $y' + 3xy = 2x$.
Так какое определение линейности верное?

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1461111 писал(а):

Ей-богу, дифуры - это какое-то проклятье... Подавляющее большинство их решает, механически запоминая способы, пока идёт матан, но если через год в отсутствии практики у человека попросить снова решить дифур, восстановив способ решения по памяти, то большинство не сможет этого сделать, потому что всё ВЫЗУБРЕННОЕ вышибло из памяти...

То же самое с просто интегрированием -- куча методов: по частям, хитрые подстановки... Задача синтеза (составление нужного из частей) как правило сложнее задачи анализа (разложение на части), соответствует поговорке "Ломать - не строить". Поэтому и существуют справочники.