Потокосцепление при соединении катушек индуктивности

[realeugene]

Solaris86 в сообщении #1461129 писал(а):

Так какое определение линейности верное?

Тут

[Pphantom]

Solaris86 в сообщении #1461088 писал(а):

Этот момент про алгебраические уравнения также всегда был неясен.
Ну вот школьная система линейных неоднородных уравнений:

$$ \begin{cases} 3x+y=9\\ 2x-y=1 \end{cases} $$

Общее решение неоднородного уравнения несложное: $x=2, y=3$
А если через общее решение однородного и частное решение неоднородного?

$$ \begin{cases} 3x+y=0\\ 2x-y=0 \end{cases} $$

И как дальше?

Это на самом деле частное решение неоднородного уравнения. То, что оно в данном случае единственное - лишь стечение обстоятельств. Общее же решение однородного уравнения имеет вид $x=0, y=0$, сложив это с частным решением неоднородного, вы и получите общее решение неоднородного.

Дело в том, что для понимания происходящего выбранный пример неудачен - на системе $n$ независимых уравнений с $n$ неизвестными вы ничего интересного не увидите. Попробуйте рассмотреть, например, систему из двух уравнений с тремя неизвестными, тогда логика будет понятнее.

[Solaris86]

Pphantom в сообщении #1461142 писал(а):

Дело в том, что для понимания происходящего выбранный пример неудачен - на системе $n$ независимых уравнений с $n$ неизвестными вы ничего интересного не увидите. Попробуйте рассмотреть, например, систему из двух уравнений с тремя неизвестными, тогда логика будет понятнее.

Так давайте возьмём одно из двух уже написанных уравнений:
$3x + y = 9$ - линейное неоднородное уравнение (ЛНУ) с частным решением $x = 2, y = 3$
$3x + y = 0$ - линейное однородное уравнение (ЛДУ) с общим решением $y = -3x$
Тогда общее решение неоднородного уравнения будет... Я даже не знаю, как сложить частное решение ЛНУ с общим решением ЛДУ и как это записать.

[arseniiv]

Solaris86 в сообщении #1461129 писал(а):

Так какое определение линейности верное?

Тут важно, разумеется, относительно каких неизвестных это уравнение. В первом определении многочлены понимаются от, возможно, одной неизвестной, но второе с ним согласуется. В общем же случае линейное уравнение — это уравнение вида $A(x) = b$ (обычно пишут без скобок: $Ax = b$), где $A$ — линейное отображение (см. ссылку realeugene), и соответственно $x, b$ — векторы некоторых линейных пространств; $A, b$ при этом известны, а $x$ неизвестен. Однородное линейное уравнение — это когда $b = 0$, в противном случае оно неоднородное. Теперь представьте, что вы имеете некоторое одно решение $x_0$ неоднородного уравнения $Ax = b$, и знаете также множество $X$ всех решений однородного $Ax = 0$. Пользуясь свойствами линейности $A$, соберите множество всех решений неоднородного.

У вас должно получиться как раз множество $\{ x_0 + x \mid x\in X \}$: возьмём любое решение неоднородного уравнения $x'$; его можно представить как $x'' + x_0 := (x' - x_0) + x_0$. Раз это решение, то $b = Ax' = Ax'' + Ax_0 = Ax'' + b$, что равносильно $Ax'' = 0$, то есть, что $x''$ — решение соответствующего однородного уравнения. (Это доказательство в обе стороны, но может выглядеть однобоким.)

(Обычные линейные уравнения одной вещественной переменной и системы из многих уравнений от вещественных переменных получатся, если ввести на пространствах, на которых действует $A$, базисы, и для координат $x$ получится обычная матричная система.)

Вам наверно интересно, как это стыкуется с теми определениями линейности (систем) полиномиальных уравнений. Тут всё просто: они должны получаться из какого-то такого линейного уравнения, а потому каждое из уравнений системы должно иметь вид $a_1x_1 + \ldots + a_nx_n = b$, где $a_1,\ldots, a_n, b$ известные. Если добавить в левую часть хоть один моном с произведением нескольких неизвестных (и полной степенью выше 1), она станет нелинейной относительно всего набора неизвестных разом.

Solaris86 в сообщении #1461155 писал(а):

Тогда общее решение неоднородного уравнения будет... Я даже не знаю, как сложить частное решение ЛНУ с общим решением ЛДУ и как это записать.

Параметрически. Общее решение $3x + y = 0$ имеет вид $(x, y) = (t, -3t)$ (например), $t\in\mathbb R$, частное решение $3x + y = 9$ запишем как $(x, y) = (2, 3)$. Теперь сложим и получим $(x, y) = (2 + t, 3 - 3t)$.

P. S. А уравнения на функции будут отличаться тем, что неизвестная функция $f$ — это как бесконечный набор неизвестных $f(a)$, для каждого $a\in\operatorname{dom} f$ своя. Когда мы складываем функции, мы так же как выше складываем значения таких переменных для каждой переменной по отдельности. А дифференцирование — это линейное отображение: $(f + g)' = f' + g'$, $(af)' = af'$, так что если в дифуре не возводить неизвестную функцию и её производные в степени и вообще друг на друга их не умножать, оно будет совершенно натурально линейным; на известные же функции умножать можно, потому что это тоже линейная операция: $C(f + g) = Cf + Cg$, $C(af) = a(Cf)$.

[Pphantom]

Тут можно было догадаться по обратной аналогии.

Общее решение однородной "системы" можно (нужно) записать как параметрическое:

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} \, t, \quad t \in \mathbb{R}, $$

после чего прибавить к нему частное неоднородного

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} \, t + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$

[Solaris86]

Ого, сколько инфы! Беру паузу, нужно разбираться с последними постами.