Применение ЗБЧ и ЦПТ для нахождения предельного распределени

[Juicer]

Пусть $X_1, ..., X_n \sim U[0, 1]$. Нужно найти

$$ \underset{n \to \infty} {\lim} \mathbb{P}(X^{2k}_1 + ... + X^{2k}_n \leq nx) \; \forall k \in \mathbb{N}, \; x \in \mathbb{R}. $$

Нужно, по-видимому применить ЗБЧ Хинчина и ЦПТ Леви.
Сначала, применяя ЗБЧ Хинчина, можно понять, что каждая из с.в. $X_j, \; j\in\overline{1, n}$ имеет одинаковое матожидание $\mathbb{E} X^{2k}_j= a$. Для определённости будем работать с первой величиной.
Как найти это матожидание? И как действовать дальше?

У меня вышло что-то вроде:

$$\mathbb{E}X^{2k}_1 = \int_{-\infty}^{\infty} x^{2k}dx \overset{?}{=}\dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}\Big|_{-\infty}^{\infty} = \infty.$$

[Otta]

Juicer в сообщении #1461070 писал(а):

У меня вышло что-то вроде:

$$\mathbb{E}X^{2k}_1 = \int_{-\infty}^{\infty} x^{2k}dx \overset{?}{=}\dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}\Big|_{-\infty}^{\infty} = \infty.$$

Да, беда вышла. Хоть заново тервер повторяй.
Плотность $X_j$ напишите.

Только вот для большинства всех этих теорем независимость нужна. Она у Вас есть?

[Juicer]

Otta в сообщении #1461071 писал(а):

Плотность

$p_X(x) = \dfrac{1}{b - a} = 1.$
Но я прочитал, что это для отрезка $[a, b]$, во всех остальных случаях плотность равна нулю.
Тогда $\mathbb{E} = \dfrac{1}{2k+1}$. Как поступить дальше?
//А почему весь тервер сначала, это же касается только равномерного распределения.

[Otta]

Juicer в сообщении #1461073 писал(а):

А почему весь тервер сначала, это же касается только равномерного распределения.

Ну почему только. Показательного, хи-квадрат, Релея, ... все перебирать или на слово поверите?
Просто это чуть ли не самый распространенный ляп, и мало какого преподавателя по ТВ он не успел довести до белого каления.

Ну что дальше. Формулировки вспоминайте, чем собирались пользоваться. Пробуйте воспользоваться.

-- 08.05.2020, 06:57 --

Juicer в сообщении #1461073 писал(а):

$p_X(x) = \dfrac{1}{b - a} = 1.$

Вот это тоже криво выглядит. Не, я понимаю, о чем, но.

[--mS--]

Otta в сообщении #1461074 писал(а):

Просто это чуть ли не самый распространенный ляп, и мало какого преподавателя по ТВ он не успел довести до белого каления.

Соглашаюсь на все сто.

Juicer, так есть независимость или нет? Или она Вам не нужна? А ещё можно бесплатно на $n$ поделить обе части неравенства под знаком вероятности.

(Оффтоп)

Кстати, украду-ка я эту задачку для своих экономистов на контрольную.

[vicvolf]

Juicer в сообщении #1461070 писал(а):

Пусть $X_1, ..., X_n \sim U[0, 1]$. Нужно найти

$$ \underset{n \to \infty} {\lim} \mathbb{P}(X^{2k}_1 + ... + X^{2k}_n \leq nx) \; \forall k \in \mathbb{N}, \; x \in \mathbb{R}. $$

Хорошая задачка.

Juicer в сообщении #1461073 писал(а):

Тогда $\mathbb{E} = \dfrac{1}{2k+1}$. Как поступить дальше?

Дисперсию найти.

Juicer в сообщении #1461070 писал(а):

Нужно, по-видимому применить ЗБЧ Хинчина и ЦПТ Леви.

Это верно, но для применения этих законов нужна независимость в совокупности случайных величин.

[Juicer]

Otta в сообщении #1461074 писал(а):

Вот

Я тут немного расписал:
Пусть есть независимые случайные величины $X_1, ..., X_n \sim U[0, 1]$. Нужно найти

$$ \underset{n \rightarrow \infty} {\lim} \mathbb{P}(X^{2k}_1 + ... + X^{2k}_n \leq nx) \; \forall k \in \mathbb{N}, \; x \in \mathbb{R}. $$

Для начала применим ЗБЧ Хинчина:

$$ \forall \varepsilon > 0 \mathbb{P}\Bigg( \Bigg|\dfrac{X^{2k}_1 + .. + x^{2k}_n} {n} - a \Bigg| > e\Bigg) \overset{\text{ЗБЧ}}{\longrightarrow}0. $$

Из этого заключаем, что все такие суммы, представленные в числителе сходятся к одному матожиданию, для определённости рассмотрим матожидание первой величины и найдём его:

$$ a = \mathbb{E} X^{2k}_1 = \int_0^1x^{2k}dx = \dfrac{1}{2k+1}. $$

Тогда искомая вероятность будет стремиться к функции распределения вырожденного закона в точке $a = \dfrac{1}{2k+1}$.
Для $x \in \mathbb{R} \backslash \Bigg\{\dfrac{1}{2k + 1} \Bigg\}.$
Осталось найти предел только в этой точке.
Далее можно найти дисперсию для сведения к виду ЦПТ Хинчина, но это не обязательно.

Сводим к ЦПТ:
\begin{multline*} &\underset{n \to \infty}{\lim}\mathbb{P}(X^{2k}_1 + ... + X^{2k}_n \leq n\dfrac{1}{2k+1}) \iff \underset{n \to \infty}{\lim}\mathbb{P}\Bigg( \dfrac{X^{2k}_1 + ... + X^{2k}_n - n\dfrac{1}{2k+1} }{\sqrt{n \sigma^2}} \leq 0 \Bigg) \\ \overset{\text{ЦПТ}}{\iff}\underset{n \to \infty}{\lim}\mathbb{P}\Bigg( \dfrac{X^{2k}_1 + ... + X^{2k}_n - n\dfrac{1}{2k+1} }{\sqrt{n \sigma^2}} \leq 0 \Bigg) \to \Phi(0)& \\ \iff \Phi(0) = \dfrac{1}{2}.& \end{multline*}
Ответ: два предела - $\dfrac{1}{2k + 1}$ и $\dfrac{1}{2}$.

-- 08.05.2020, 15:22 --

vicvolf в сообщении #1461106 писал(а):

Дисперсию найти.

Необязательно ведь.

vicvolf в сообщении #1461106 писал(а):

Это верно, но

Конечно, это условие есть, забыл написать.

--mS-- в сообщении #1461076 писал(а):

есть независимость

Есть.

--mS-- в сообщении #1461076 писал(а):

бесплатно на $n$ поделить

Так уже - я бы не получил просто ЗБЧ, а я применил его, чтобы показать, что у всех с.в. одно матожидание.

--mS-- в сообщении #1461076 писал(а):

украду-ка я эту задачку

На здоровье)

Otta в сообщении #1461074 писал(а):

криво

Хорошо: $p_X(x) = \dfrac{1}{b - a} \overset{b = 1, a = 0}{=} 1 \; \forall x \in [0, 1]; 0 \;- otherwise.$

Otta в сообщении #1461074 писал(а):

Показательного, хи-квадрат, Релея

Интересно, таких распределений у нас в программе не было, почитаю.

[--mS--]

Juicer в сообщении #1461139 писал(а):

ЦПТ Хинчина

Простите невежду, а это что?

[Juicer]

--mS-- в сообщении #1461180 писал(а):

Простите невежду

это моя невнимательность)
Леви, конечно

[Otta]

Juicer в сообщении #1461139 писал(а):

Интересно, таких распределений у нас в программе не было, почитаю.

Этого просто быть не может, Вас предыдущая тема сдаёт :) какое-то, да было.
Вы там задачу не дорешали, кстати, поэтому и не заметили. Или наоборот.

[Someone]

(Juicer)

Juicer в сообщении #1461139 писал(а):

Хорошо: $p_X(x) = \dfrac{1}{b - a} \overset{b = 1, a = 0}{=} 1 \; \forall x \in [0, 1]; 0 \;- otherwise.$

Что-то дикое. Стандартно это пишется так:

$$p_X(x)=\begin{cases}0\text{, если }x<a,\\ \frac 1{b-a}\text{ если }a\leqslant x\leqslant b,\\ 0\text{, если }x>b,\end{cases}$$

или, если совсем не хочется такую формулу вставлять, написать что-нибудь вроде "$p_X(x)=\frac 1{b-a}$, если $x\in[a,b]$, и $0$ в остальных случаях". Если Вы имеете в виду конкретные значения $a$ и $b$ и у Вас нет специальной цели показать общую формулу, то лучше их сразу подставить в формулу и не морочить людям голову, пихая их в формулу над знаком равенства или ещё куда-нибудь. Если же общая формула нужна, то, опять же, лучше указать используемые значения и написать результат подстановки в виде отдельной формулы.

Ладно, извините за ворчание.

[vicvolf]

Juicer в сообщении #1461139 писал(а):

Для начала применим ЗБЧ Хинчина:

$$ \forall \varepsilon > 0 \mathbb{P}\Bigg( \Bigg|\dfrac{X^{2k}_1 + .. + x^{2k}_n} {n} - a \Bigg| > e\Bigg) \overset{\text{ЗБЧ}}{\longrightarrow}0. $$

Из этого заключаем, что все такие суммы, представленные в числителе сходятся к одному матожиданию, для определённости рассмотрим матожидание первой величины и найдём его:

$$ a = \mathbb{E} X^{2k}_1 = \int_0^1x^{2k}dx = \dfrac{1}{2k+1}. $$

Сходимость в ЗБЧ по вероятности - так и надо писать. Сходятся по вероятности к математическому ожиданию не суммы случайных величин, а среднее арифметическое.

[Otta]

vicvolf в сообщении #1461326 писал(а):

Сходимость в ЗБЧ по вероятности - так и надо писать.

А там как?

[vicvolf]

Otta Мне привычней, как в Боровкове, под стрелкой $p$.

[Otta]

vicvolf
ТС привел определение той сходимости, которая обозначается "под стрелкой $P$".