Применение ЗБЧ и ЦПТ для нахождения предельного распределени

[vicvolf]

Juicer в сообщении #1461139 писал(а):

Для начала применим ЗБЧ Хинчина:

$$ \forall \varepsilon > 0 \mathbb{P}\Bigg( \Bigg|\dfrac{X^{2k}_1 + .. + x^{2k}_n} {n} - a \Bigg| > e\Bigg) \overset{\text{ЗБЧ}}{\longrightarrow}0. $$

Из этого заключаем, что все такие суммы, представленные в числителе сходятся к одному матожиданию, для определённости рассмотрим матожидание первой величины и найдём его:

$$ a = \mathbb{E} X^{2k}_1 = \int_0^1x^{2k}dx = \dfrac{1}{2k+1}. $$

Не понял зачем Вам ЗБЧ? То что все мат. ожидания равны ясно из того, что все величины имеют одинаковые распределения.

[Otta]

vicvolf в сообщении #1461505 писал(а):

Не понял зачем Вам ЗБЧ? То что все мат. ожидания равны ясно из того, что все величины имеют одинаковые распределения.

Чтобы обосновать сходимость по вероятности. У теоремы Хинчина есть условия. Слова "Из этого" можете убрать, для связности.

[vicvolf]

Otta в сообщении #1461619 писал(а):

vicvolf в сообщении #1461505 писал(а):

Не понял зачем Вам ЗБЧ? То что все мат. ожидания равны ясно из того, что все величины имеют одинаковые распределения.

Чтобы обосновать сходимость по вероятности. У теоремы Хинчина есть условия. Слова "Из этого" можете убрать, для связности.

А зачем использовать теорему Хинчина (ЗБЧ в форме Хинчина)? В ЦПТ в форме Леви используется только сходимость по распределению. Достаточно только одинаковой распределенности независимых случайных величин и конечности их мат. ожиданий и дисперсий, что выполняется. Значения этих характеристик легко определяется и искомая вероятность определяется на основании ЦПТ.

[Otta]

Ну, некая экономия есть. Не нужно считать дисперсию. А так незачем.
vicvolf
ТС в данный момент нет, а лучше него никто не сможет ответить, зачем он что-то делал.

[--mS--]

vicvolf в сообщении #1461636 писал(а):

А зачем использовать теорему Хинчина (ЗБЧ в форме Хинчина)? В ЦПТ в форме Леви используется только сходимость по распределению. Достаточно только одинаковой распределенности независимых случайных величин и конечности их мат. ожиданий и дисперсий, что выполняется. Значения этих характеристик легко определяется и искомая вероятность определяется на основании ЦПТ.

А можно попросить вместо этих общих слов продемонстрировать, как сделать по ЦПТ то, что ТС сделал по ЗБЧ? Итак, есть независимые случайные величины $X_1, ..., X_n \sim U[0, 1]$. Покажите, пожалуйста (строго и аккуратно), как найти для произвольного натурального $k$ и всех $x \neq \dfrac{1}{2k+1}$ предел $\lim\limits_{n\to\infty}\mathsf P(X^{2k}_1 + ... + X^{2k}_n \leq nx). $

(Оффтоп)

У меня тоже студенты хотят, чтобы вероятность стремилась к нулю по вероятности. Их за это бьют больно, хоть они и маленькие ещё. А Вы большой, и Вам с рук сошло.

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1461639 писал(а):

vicvolf
ТС в данный момент нет, а лучше него никто не сможет ответить, зачем он что-то делал.

Ну почему же. Поскольку ТС все сделал крайне грамотно и ровно так, как это положено делать, то и я могу лучше него ответить, зачем он это делал. Вот только хочу убедиться, что оно того стоит.

[Otta]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #1461899 писал(а):

то и я могу лучше него ответить, зачем он это делал.

--mS--, спасибо. Вас всегда приятно читать, но ради меня не стоит.

[Juicer]

--mS--
Наверное, тут стоит исходить из того, что пользоваться ЗБЧ Хинчина для $x \ne \frac{1}{2k+1}, \; \forall k \in \mathbb{N}$, чтобы найти искомую вероятность проще, чем находить значение функции $\Phi(x)$?
Вообще я был бы очень рад почитать обоснованное определение, у нас на практике такой алгоритм давался просто.
Извините, что так долго не отвечал - не приходили уведомления на почту.

[Otta]

Juicer
Да нормально все у Вас. Что касается использования ЦПТ сразу - ну попробуйте писать, тщательно сверяя возможность каждого перехода с формулировками соотв. теорем, и Вы увидите, где все посыплется.