Потокосцепление при соединении катушек индуктивности

[Solaris86]

В школе даётся несложный вывод нахождения общей ёмкости при соединении конденсаторов:
1) последовательное соединение:
$q_1 = q_2 = q_3 = ... = q_N = q$
$U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_N = U$
$U = \frac {q}{C} = \frac {q_1}{C_1} + \frac {q_2}{C_2} + \frac {q_3}{C_3} + ... + \frac {q_N}{C_N}$
$\frac {1}{C} = \frac {1}{C_1} + \frac {1}{C_2} + \frac {1}{C_3} + ... + \frac {1}{C_N}$
2) параллельное соединение:
$q_1 + q_2 + q_3 + ... + q_N = q$
$U_1 = U_2 = U_3 = ... = U_N = U$
$q = CU = C_1U_1+ C_2U_2 + C_3U_3 + ... + C_NU_N$
$C =C_1 + C_2 + C_3 + ... + C_N$

По аналогии я попытался провернуть вывод общей индуктивности при соединении катушек индуктивности:
1) последовательное соединение:
$I_1 = I_2 = I_3 = ... = I_N = I$
$\psi_1 + \psi_2 + \psi_3 + ... + \psi_N = \psi$
$\psi =LI = L_1I_1 + L_2I_2 + L_3I_3 + ... + L_NI_N$
$L = L_1 + L_2 + L_3 + ... + L_N$
2) параллельное соединение:
$I_1 + I_2 + I_3 + ... + I_N = I$
$\psi_1 = \psi_2 = \psi_3 = ... = \psi_N = \psi$
$I = \frac{\psi}{L} = \frac{\psi_1}{L_1} + \frac{\psi_2}{L_2} + \frac{\psi_3}{L_3} + ... + \frac{\psi_N}{L_N}$
$\frac {1}{L} = \frac {1}{L_1} + \frac {1}{L_2} + \frac {1}{L_3} + ... + \frac {1}{L_N}$

Всё бы хорошо, да нет: выкладки с зарядом и напряжением для конденсаторов очевидны, выкладки с током для катушек также очевидны, а вот почему потокосцепление $\psi$ при последовательном соединение катушек складывается, а при параллельном - одинаково, для меня не ясно. Кто может объяснить на пальцах?

[realeugene]

Solaris86 в сообщении #1460362 писал(а):

Кто может объяснить на пальцах?

Если на пальцах, то в цепях с сосредоточенными параметрами максимально пренебрегают электрическим и магнитным полем между проводниками. То есть нет никакого единого "потокосцепления". Запишите дифур для каждой индуктивности, подставьте равное напряжение при параллельном соединении, нулевой начальный ток и проинтегрируйте его, чтобы получить равное "потокосцепление". Но учтите, что на постоянном токе последовательное сопротивление конденсаторов и параллельное сопролтивление индуктивностей становится не очень хорошо определёнными из-за неидеальных внутренних сопротивлений компонентов, которыми обычно пренебрегают в расчётах.

[EUgeneUS]

При соединении индуктивностей, в отличие от конденсаторов, есть два принципиально различающихся случая:
1. Нет взаимной индукции.
2. Есть взаимная индукция.

Вывод, аналогично как для конденсаторов, производится для случая (1). И в нём не нужно никакого потокосцеплния. Нужно только выражение ЭДС самоиндукции.

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1460362 писал(а):

вот почему потокосцепление $\psi$ при последовательном соединение катушек складывается, а при параллельном - одинаково, для меня не ясно. Кто может объяснить на пальцах?

Подозреваю, что Вам не ясно из-за того, что тут ошибка.
Потокосцепление при любом соединении индуктивностей суммируется.
Забудем слово "потокосцепление". Есть поток магнитной индукции через какую-то поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Катушка (свитый провод), в качестве части замкнутого контура, формирует довольно таки сложную поверхность со многими (по количеству витков) лепестками. Более того, эта поверхность может самопересекаться, если намотка в навал.
Поток магнитной индукции через такую поверхность обозначим буквой $\Psi$
Чтобы упростить "геометрию" будем считать, что поток магнитной индукции через любое сечение катушки примерно одинаков. Обозначим поток магнитной индукции через сечение катушки буквой $\Phi$.
Тогда $\Psi = N \Phi$. Это приближение, которое работает далеко не всегда.
Теперь, чтобы всех запутать, будем называть:
а) то, что обозначили буквой $\Phi$ просто "потоком магнитной индукции".
б) то, что обозначили буквой $\Psi$ "потокосцеплением".

Если не путаться, то совершенно очевидно (из аддитивности интеграла по поверхности), что
$\Psi_\Sigma = \sum\limits_{i}^{}\Psi_i$ (1)
Интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по всем частям поверхности.
И в заключении нужно вспомнить, что рассматриваем случай:

EUgeneUS в сообщении #1460377 писал(а):

1. Нет взаимной индукции.

А значит пренебрегаем потоком, через ту часть поверхности контура, которая формируется соединительными проводами. А значит, как мы соединяем катушки, для вывода (1) совершенно не важно.

[Solaris86]

EUgeneUS в сообщении #1460536 писал(а):

Потокосцепление при любом соединении индуктивностей суммируется.

Вернусь ещё раз в параллельному соединению катушек:
$I_1 + I_2 + I_3 + ... + I_N = I$
$\psi_1 = \psi_2 = \psi_3 = ... = \psi_N = \psi$
$I = \frac{\psi}{L} = \frac{\psi_1}{L_1} + \frac{\psi_2}{L_2} + \frac{\psi_3}{L_3} + ... + \frac{\psi_N}{L_N}$
$\frac {1}{L} = \frac {1}{L_1} + \frac {1}{L_2} + \frac {1}{L_3} + ... + \frac {1}{L_N}$
Считаем, что взаимной индуктивности М нет.
При протекании тока из узла по каждой ветки с катушкой потечёт свой ток $I_i$, который при протекании по катушке c индуктивностью $L_i$ создаст в ней потокосцепление $\psi_i$.
Формула $\frac {1}{L} = \frac {1}{L_1} + \frac {1}{L_2} + \frac {1}{L_3} + ... + \frac {1}{L_N}$ фигурирует не как мной придуманная, а как официально утверждённая формула для расчётов в цепях с параллельно соединёнными индуктивностями.

EUgeneUS в сообщении #1460536 писал(а):

Потокосцепление при любом соединении индуктивностей суммируется.

С учётом этой цитаты перепишу строчку:
$\psi_1 + \psi_2 + \psi_3 + ... + \psi_N = \psi$
Откуда получаем общий ток: $I = \frac{\psi}{L} = \frac{(\psi_1 + \psi_2 + \psi_3 + ... + \psi_N)}{L} = \frac{\psi_1}{L_1} + \frac{\psi_2}{L_2} + \frac{\psi_3}{L_3} + ... + \frac{\psi_N}{L_N}$
Даже если предположить, что $\psi_1 = \psi_2 = \psi_3 = ... = \psi_N = \psi_i$, тогда:
$\frac{(\psi_1 + \psi_2 + \psi_3 + ... + \psi_N)}{L} = \frac{N\psi_i}{L} = \frac{\psi_i}{1}(\frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} + ... + \frac{1}{L_N})$, откуда получаем:
$\frac {N}{L} = \frac {1}{L_1} + \frac {1}{L_2} + \frac {1}{L_3} + ... + \frac {1}{L_N} \not= \frac {1}{L}$, не получили нужную конечную формулу.
Если же $\psi_1 \not= \psi_2 \not= \psi_3 \not= ... \not= \psi_N$, то вынести за скобки потокосцепление вообще не удастся и дальнейшие выкладки бесполезны...
Отсюда вывод:
1) предположение $\psi_1 + \psi_2 + \psi_3 + ... + \psi_N = \psi$ ошибочно.
2) предположение $\psi_1 = \psi_2 = \psi_3 = ... = \psi_N = \psi$ верно, ибо только в этом случае можно дальнейшими выкладками получить нужную формулу.
Возьмём случай с идеальными одинаковыми катушками индуктивности $L_1 = L_2 = L_3 = ... L_N = L_i$
В этом случае через каждую катушку потечёт одинаковый ток $I_1 = I_2 = I_3 = ... = I_N = I_i$
Отсюда через каждую катушку будет одинаковое потокосцепление $\psi_1 = \psi_2 = \psi_3 = ... = \psi_N = \psi_i$
Общая индуктивность таком случае будет $\frac{1}{L} = \frac {N}{L_i} \Rightarrow L = \frac{L_i}{N}$
Общий ток будет $I = NI_i$
Отсюда общее потокосцепление через все катушки будет $\psi = LI = \frac{L_i}{N}NI_i = L_iI_i = \psi_i$
Так а каком суммировании потокосцеплений при параллельном соединении индуктивностей может идти речь в таком случае?

[realeugene]

Solaris86
вас обманывают. Потокосцепление определено строго только для замкнутого контура, по которому течёт ток. При параллельном соединении индуктивностей такого одного контура нет.

[Solaris86]

realeugene в сообщении #1460654 писал(а):

Solaris86
вас обманывают. Потокосцепление определено строго только для замкнутого контура, по которому течёт ток. При параллельном соединении индуктивностей такого одного контура нет.

Что значит обманывают? Что это вообще за формулировка и к чему она?
Речь идёт про замену параллельно соединённых индуктивностей одной эквивалентной индуктивностью, и общие характеристики $L$ и $\psi$ как раз относятся к ней.

[realeugene]

Solaris86 в сообщении #1460667 писал(а):

Речь идёт про замену параллельно соединённых индуктивностей одной эквивалентной индуктивностью, и общие характеристики $L$ и $\psi$ как раз относятся к ней.

"относятся к эквивалентной индуктивности", а не к исходной схеме - верно. Вот и запишите дифуры и подберите подходящее эквивалентное потокосцепление в эквивалентной индуктивности. А вот пытаться как-либо считать общее потокосцепление в исходной схеме - неверно.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1460670 писал(а):

Вот и запишите дифуры и подберите подходящее эквивалентное потокосцепление в эквивалентной индуктивности.

Тут, по-моему, путаница происходит из-за неудачно выбранного термина "потокосцепление". Если вместо него писать "магнитный поток", получится значительно лучше.

Solaris86 в сообщении #1460362 писал(а):

а вот почему потокосцепление $\psi$ при последовательном соединение катушек складывается, а при параллельном - одинаково, для меня не ясно

Потому что закон Фарадея.
На параллельно соединенных катушках одинаково что? И как это что выражается через магнитный поток (или величину индуктивности и ток в ней)?

[realeugene]

DimaM в сообщении #1460672 писал(а):

Если вместо него писать "магнитный поток", получится значительно лучше.

Нет, не получится. Поток считается через поверхность, ограниченную некоторым замкнутым контуром.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1460681 писал(а):

Нет, не получится. Поток считается через поверхность, ограниченную некоторым замкнутым контуром.

На катушку, по-моему, можно натянуть заданный контур. А если сделать индуктивность в виде двухшинки, то и того лучше.

Но вообще-то определение индуктивности через поток (потокосцепление) - оно довольно мутное. Доходит, например, до того, что индуктивность коаксиала с толстым внутренним проводником у разных авторов имеет разное значение.
Мне более надежным представляется определение через энергию магнитного поля $W=LI^2/2$ (в СИ), из которого, кстати, запросто получается равенство произведений $LI$ для параллельно соединенных индуктивностей.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1460682 писал(а):

На катушку, по-моему, можно натянуть заданный контур. А если сделать индуктивность в виде двухшинки, то и того лучше.

Только это не контур, по которому циркулирует ток. Но как приближение для случая цепей с сосредоточенными параметрами, да, работает.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1460683 писал(а):

Только это не контур, по которому циркулирует ток.

Эту фразу я не вполне понимаю. Но чувствую, что обсуждения тонкостей термина "потокосцепление" явно уводит автора темы куда-то не туда.

[profilescit]

Не знаю на сколько уместно будет мое сообщение, надеюсь поможет автору разобраться.

Существует такое понятие как "магнитные цепи".
Полная аналогия электрических цепей (с парочкой оговорок), для которого справедлив тот же закон Ома или законы Кирхгофа.
Можно считать что катушки индуктивности являются аналогом сопротивления для магнитных цепей для которого справедливы те же правила нахождения эквивалентного сопротивления/индуктивности.

[Solaris86]

realeugene в сообщении #1460670 писал(а):

Вот и запишите дифуры и подберите подходящее эквивалентное потокосцепление в эквивалентной индуктивности.

Дифуры - конечно, хорошо, но хотелось бы без них тут.

DimaM в сообщении #1460672 писал(а):

Потому что закон Фарадея.
На параллельно соединенных катушках одинаково что? И как это что выражается через магнитный поток (или величину индуктивности и ток в ней)?

Давайте на примере задачи.

Разберём 2 случая для установившегося режима:
1. Постоянный ток от идеального источника напряжения $U = 5 \text{В}$
$I = I_R = I_L_{12} = I_L_1 + I_L_2$
$U = U_R+U_L_{12}$
$U_R = I_RR_R = IR_R$
$U_L_{12} = U_L_1 = U_L_2$
$U_R = 5 \text{В}, I_R = \frac{U_R}{R_R} = \frac {5}{1} = 5 \text{А}$
$U_L_1 = 0 \text{В}, I_L_1 = \frac{U_L_1}{R_L_1} = \frac {0}{0} \text{А}$
$U_L_2 = 0 \text{В}, I_L_2= \frac{U_L_2}{R_L_2} = \frac {0}{0} \text{А}$
Ток через каждую из катушек не определён:

$$ \begin{cases} I_L_1 \in [0;5]\\ I_L_2 \in [0;5]\\ I_L_1 + I_L_2 = 5 \end{cases} $$

В данном случае электрическое поле стационарное, магнитное поле постоянное, поэтому никакой электромагнитной индукции и ЭДС самоиндукции в катушках нет.
Вопрос: что тут у нас с магнитными потоками в каждой катушке и общим магнитным потоком (понимать как магнитным потоком в катушке, эквивалентной данным двум, соединённым параллельно)?
Если допустить, что $\Phi_1 = \Phi_2 = \Phi$, то имеем $L_1I_L_1 = L_2I_L_2$
Пусть $I_L_1 = x, I_L_2 = 5-x$
$x = (5-x)2$
$x = 10-2x$
$x = 10/3$
$I_L_1 = 10/3 \text{А} , I_L_2 = 5/3 \text{А}$
$\Phi_1 = \Phi_2 = \Phi = 10/3\text{Вб}$
Получилось, что ток будет распределяться как 2:1 пропорционально соотношению индуктивностей катушек.
Вопрос: что же будет в случае постоянного тока - магнитные потоки катушек равны и тогда ток определён или они не равны и тогда ток не определён и каждый раз он будет случайной величиной из заданного диапазона?

2. Переменный ток от идеального источника напряжения $U = 5 \text{В}$ с частотой $f = 1 \text{Гц}$ в некоторый момент времени $t$.
$I = I_R = I_L_{12} = I_L_1 + I_L_2$
$U = U_R+U_L_{12}$
$U_R = I_RR_R = IR_R$
$U_L_{12} = U_L_1 = U_L_2 = I_L_{12}X_L_{12} = I \omega L_{12} = 2I \pi f(\frac{L_1L_2}{L_1+L_2})$
По векторной диаграмме:
$\vec{U} = \vec{U}_R + \vec {U}_L_{12}$
$U = \sqrt{U_R^2 + U_L_{12}^2} = I\sqrt{R_R^2 + (2f(\frac{L_1L_2}{L_1+L_2}))^2} \Rightarrow I = \frac{U}{\sqrt{R_R^2 + (2 \pi f(\frac{L_1L_2}{L_1+L_2}))^2}} = \frac{5}{\sqrt{1 + 16\pi^2/9}} = 1.161 \text{А}$
$U_R =I_RR_R = IR_R = 1.161 \text{В}$
$U_L_{12} = \sqrt{U^2 - U_R^2} = \sqrt{25 - 1.161^2} = 4.863 \text{В}$
$U_L_1 = I_L_1 \omega L_1 = 2I_L_1 \pi fL_1 \Rightarrow I_L_1 = \frac{U_L_1}{2 \pi fL_1} = \frac{4.863}{2 \pi} = 0.774 \text{А}$
$U_L_2 = I_L_2 \omega L_2 = 2I_L_2 \pi fL_2 \Rightarrow I_L_2 = \frac{U_L_2}{2 \pi fL_2} = \frac{4.863}{4 \pi} = 0.387 \text{А}$
$\Phi_1 = \Phi_2 = \Phi = 0.774\text{Вб}$
Получилось, что ток будет распределяться как 2:1 пропорционально соотношению индуктивностей катушек.

Меня очень смутило, что не выполняется второй закон Кирхгофа:
$U = 5$
$U_R+U_L_{12} = 1.161 + 4.863 = 6.024$
$U_R+U_L_{12} > U$.
Как это возможно? Где я ошибся?