Что можно интегрировать, помимо дифф. форм

[Padawan]

Пусть в области $G\subset\mathbb R^n$ задано поле некоторой штуковины $\lambda$, для которой мы хотим вычислять интегралы по $k$-мерным поверхностям $\int\limits_M \lambda$, где $M$ -- ориентированное $k$-мерное многообразие, лежащее в $G$. Чем может быть штука $\lambda(x)$, помимо дифф.формы степени $k$? Самая общая конструкция, которую я придумал такая. Рассмотрим множество простых $k$-векторов. Их можно отождествить с элементарными ориентированными $k$-мерными площадками. В качестве $\lambda$ можно взять функцию, которая в каждой точке $x\in G$ и каждому простому $k$-вектору $P$(из касательного пространства в точке $x$) сопоставляет число $\lambda(x,P)$. При этом должно выполняться условие положительной однородности $\lambda(x,tP)=t\lambda(x,P)$ для всех $t>0$. Для такой штуки интеграл $\int\limits_M \lambda$ имеет смысл.
Например, по кривой можно интегрировать $(a|dx|^p+b|dy|^p)^{1/p}$, по двумерным поверхностям в $\mathbb R^3$ выражение $(a|dx\wedge dy|^p+b|dy\wedge dz|^p+c|dz\wedge dx|^p)^{1/p}$. Приходят на ум всякие финслеровы пространства в связи с этим.
А что ещё можно интегрировать?

[g______d]

Padawan в сообщении #1460269 писал(а):

А что ещё можно интегрировать?

Потоки. См., например, Федерер, "Геометрическая теория меры". Точную главу лень искать, но легко найдёте.

[Padawan]

В википедии говорится, что потоки -- это линейные функционалы на формах. То есть потоки это как бы поверхности и их линейные комбинации (возможно, континуальные). Получается, что еще раз надо брать сопряжение, то есть функционалы на потоках? Вообще, это по-моему немного не то, о чем я говорю. Скорее это какие-то дифф. формы, коэффициенты которых -- обобщенные функции. Я же говорю о дифференциально-геометрическом объектах, которые можно интегрировать по поверхностям.

[пианист]

Наверное, параллельный перенос вектора по аффинной связности?

[g______d]

Padawan в сообщении #1460394 писал(а):

Я же говорю о дифференциально-геометрическом объектах, которые можно интегрировать по поверхностям.

Да, наверное, это не то. Я думал о функционалах на поверхностях (например, можно рассматривать функционалы на цепях подходящей размерности). Но всё упирается в то, хотим ли мы, чтобы значения функционала на гомологичных цепях совпадали, или нет. Если да -- то это формы. Если нет -- то выбор намного больше.

-- Вт, 05 май 2020 18:35:26 --

На ум ещё приходят плотности:

https://en.wikipedia.org/wiki/Density_on_a_manifold

[Slav-27]

Padawan
То, что вы придумали, называется плотности (densities). Небольшой конфликт терминологии: по ссылке g______d не совсем то. Можете посмотреть Álvarez Paiva, Gelfand transforms and Crofton formulas (раздел 2), там это даже зачем-то используется.

(Оффтоп)

А если кого интересуют потоки, то "Дифференцируемые многообразия" де Рама -- попроще, хотя и старая.