2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что можно интегрировать, помимо дифф. форм
Сообщение05.05.2020, 08:58 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Пусть в области $G\subset\mathbb R^n$ задано поле некоторой штуковины $\lambda$, для которой мы хотим вычислять интегралы по $k$-мерным поверхностям $\int\limits_M \lambda$, где $M$ -- ориентированное $k$-мерное многообразие, лежащее в $G$. Чем может быть штука $\lambda(x)$, помимо дифф.формы степени $k$? Самая общая конструкция, которую я придумал такая. Рассмотрим множество простых $k$-векторов. Их можно отождествить с элементарными ориентированными $k$-мерными площадками. В качестве $\lambda$ можно взять функцию, которая в каждой точке $x\in G$ и каждому простому $k$-вектору $P$(из касательного пространства в точке $x$) сопоставляет число $\lambda(x,P)$. При этом должно выполняться условие положительной однородности $\lambda(x,tP)=t\lambda(x,P)$ для всех $t>0$. Для такой штуки интеграл $\int\limits_M \lambda$ имеет смысл.
Например, по кривой можно интегрировать $(a|dx|^p+b|dy|^p)^{1/p}$, по двумерным поверхностям в $\mathbb R^3$ выражение $(a|dx\wedge dy|^p+b|dy\wedge dz|^p+c|dz\wedge dx|^p)^{1/p}$. Приходят на ум всякие финслеровы пространства в связи с этим.
А что ещё можно интегрировать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что можно интегрировать, помимо дифф. форм
Сообщение05.05.2020, 09:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Padawan в сообщении #1460269 писал(а):
А что ещё можно интегрировать?

Потоки. См., например, Федерер, "Геометрическая теория меры". Точную главу лень искать, но легко найдёте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что можно интегрировать, помимо дифф. форм
Сообщение05.05.2020, 16:50 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
В википедии говорится, что потоки -- это линейные функционалы на формах. То есть потоки это как бы поверхности и их линейные комбинации (возможно, континуальные). Получается, что еще раз надо брать сопряжение, то есть функционалы на потоках? Вообще, это по-моему немного не то, о чем я говорю. Скорее это какие-то дифф. формы, коэффициенты которых -- обобщенные функции. Я же говорю о дифференциально-геометрическом объектах, которые можно интегрировать по поверхностям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что можно интегрировать, помимо дифф. форм
Сообщение06.05.2020, 04:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Наверное, параллельный перенос вектора по аффинной связности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что можно интегрировать, помимо дифф. форм
Сообщение06.05.2020, 04:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Padawan в сообщении #1460394 писал(а):
Я же говорю о дифференциально-геометрическом объектах, которые можно интегрировать по поверхностям.


Да, наверное, это не то. Я думал о функционалах на поверхностях (например, можно рассматривать функционалы на цепях подходящей размерности). Но всё упирается в то, хотим ли мы, чтобы значения функционала на гомологичных цепях совпадали, или нет. Если да -- то это формы. Если нет -- то выбор намного больше.

-- Вт, 05 май 2020 18:35:26 --

На ум ещё приходят плотности:

https://en.wikipedia.org/wiki/Density_on_a_manifold

 Профиль  
                  
 
 Re: Что можно интегрировать, помимо дифф. форм
Сообщение06.05.2020, 16:11 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Padawan
То, что вы придумали, называется плотности (densities). Небольшой конфликт терминологии: по ссылке g______d не совсем то. Можете посмотреть Álvarez Paiva, Gelfand transforms and Crofton formulas (раздел 2), там это даже зачем-то используется.

(Оффтоп)

А если кого интересуют потоки, то "Дифференцируемые многообразия" де Рама -- попроще, хотя и старая.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group