7] Чётный биквадрат.


.

;

.
Доказать отсутствие решений при отсутствии общего делителя тройки Биля

.


;

;

Возведём (7.2) в квадрат.

Согласно (7.2)

Значит

Поэтому

Всегда выполняется условие

Возведём (7.3) в квадрат.

Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к

Продолжим возводить в квадрат и проводить такие же рассуждения.


Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к

Если

, то

, а

.
Дальнейшие операции возможны лишь при

.
Возведём (7.7) в квадрат.

Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к

Возведём (7.9) в квадрат.

Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к

Из-за (7.12) имеем

Сопоставим (7.13) и (7.11), отсюда

Преобразуем (7.9) на основе (7.14).
Из-за (7.10) имеем

Сопоставим (7.15) и (7.9), отсюда

Преобразуем (7.7) на основе (7.16).
Из-за (7.8) имеем

Сопоставим (7.17) и (7.7), отсюда


По (7.3) получаем

Из (7.19) следует

Однако (7.20) и (7.2) противоречат друг другу.
Утверждение об отсутствии решений доказано.