арифметика в ТМ

[popique]

arseniiv, вы описали приведенный в вопросе простейший случай $\varphi(0) = x$ и $\varphi(n') = f(\varphi(n), n)$. У Someone же несколько иная конструкция и я просил объяснить суть введенной функции и переменной.

[arseniiv]

Ну вот как раз если попытаться выразить сложение моим способом, станет понятно, зачем нужна та переменная. Или не станет. Просто мне например не очень понятно, как может быть неясно, зачем нужно брать в $g$ и $f$ столько аргументов, чтобы у $\varphi$ получилось нужное число аргументов, а именно для двух аргументов — как у сложения или умножения — брать вот этот один дополнительный $a$.

[Someone]

popique в сообщении #1457998 писал(а):

для чего вводится функция $g$, если в простейшем случае $\varphi(0) = x$ и какую роль играет дополнительная переменная $a$?

Между прочим, сумма и произведение — функции двух переменных: $m+n=\varphi(n,m)$ и $m\cdot n=\psi(n,m)$.
Другое дело, что у меня там есть опечатка:

Someone в сообщении #1237170 писал(а):

Например: если заданы функции $g\colon\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N$ и $f\colon\mathbb N\times\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N$, то существует и единственна функция $\varhi\colon\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N$, удовлетворяющая условиям 1) $\varphi(0,a)=g(a)$ и 2) $\varphi(n',a)=f(\varphi(n,a),n,a)$.

Здесь, естественно, имелось в виду $g\colon\mathbb N\to\mathbb N$.

А вот здесь неточность:

Someone в сообщении #1237482 писал(а):

Причём, $m\leqslant n\Leftrightarrow m\subseteq n$\Leftrightarrow m\in n, так что в рассматриваемой модели отношение порядка определяется прямо в теоретико-множественных терминах.

Должно быть $m\leqslant n\Leftrightarrow m\subseteq n$ и $m<n\Leftrightarrow m\in n$. Впрочем, судя по тому, что получилось при цитировании, я там что-то исправлял и, видимо, недоисправил.

popique в сообщении #1458011 писал(а):

я просил объяснить суть введенной функции и переменной.

Это же некоторая достаточно общая схема индуктивного определения. Она нужна для определения не только суммы и произведения, но и других арифметических функций двух переменных.

arseniiv в сообщении #1458007 писал(а):

Если $g\in A$ и $f\colon A\times\mathbb N\to A$, то существует функция $\varphi\colon\mathbb N\to A$ такая, что $\varphi(0) = g$ и $\varphi(n') = f(\varphi(n), n)$.
Вот определите сложение с помощью неё.

Не получится. Как записать суммы $5+3$ и $7+11$, располагая только одной функцией одной переменной $\varphi(n)$?

[arseniiv]

В моём случае предполагается за $A$ взять $\mathbb N^{\mathbb N}$. Тогда возьмём $g(m) = m$ и $f(h, n)(m) = (h(m))'$, и тогда получим $\varphi\colon \mathbb N\to\mathbb N^{\mathbb N}$ такую, что $\varphi(n)(m) = n + m$.

-- Вс апр 26, 2020 16:21:42 --

Впрочем перепроверить-то это как раз стоит, я мог что-то упустить.