2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение19.04.2020, 00:47 


08/07/07
96
Всем доброго времени суток.

Ранее я писал о готовящейся публикации по гипотезе Римана в разделе "Дискуссионные темы (М)", теме "Гипотеза Римана".
В итоге опубликовал статью, правда не на этом ресурсе.

Подчеркну, что не утверждаю, что доказал гипотезу, но я попытался скомпилировать большинство известного материала и сделать некоторые, как мне кажется интересные выводы.

В результате обсуждения статьи у оппонентов возник ряд вопросов.
Постепенно, я дополнял статью, добавлял литературу и сопутствующие доказательства промежуточных шагов.

Но, к сожалению, конструктивного диалога - не состоялось.
Для себя я сделал вывод, что пока не буду сюда закидывать статью целиком, как хотел сделать изначально, так как и верстка занимает много времени, и много материала.

Если читающие на этом форуме не против, я попробую начать с нескольких, как мне кажется интересных моментов, а дальше посмотрим, что из этого получится.

Прежде всего хочу начать с определений (я их даю в своей интерпретации, в литературе такого не нашел)

$$
\zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}} \frac{1}{(2 i-1)^s}+\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}} \frac{1}{(2 i)^s}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>1
$$
$$
\eta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}} \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}} \frac{1}{(2 i)^s}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$

Из формулы Эйлера - Маклорена, следует, что при $n \to {\infty}$
$$
\zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{i^s}-\frac{n^{1-s}}{1-s}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$
Ссылки на литературу:
    1. Note sur les zéros de la fonction $\zeta(s)$ de Riemann, стр. 294
    2. Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, стр: 56,269,270

Тогда будет верно
$$
2^{-s} \zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$

Далее запишем
$$
\zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}+\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{1-s}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$
Или
$$
\zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{1-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)})+2^{-s} \zeta (s),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$
Или
$$
\zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)})+2^{-s} \zeta (s),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$
Тогда
$$
\left(1-2^{-s}\right) \zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0\qquad\qquad\qquad (1)
$$

Известно, что
$$
\lim_{n\to \infty }\left((2 n)^{1-s}-(2 n-1)^{1-s}\right)=0,\operatorname{Re}(s)>0
$$
Следовательно
$$
\lim_{n\to \infty }\left(\frac{(2 n)^{1-s}-(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)}\right)=0,\operatorname{Re}(s)>0\qquad\qquad\qquad (2)
$$
Сложим (1) и (2), тогда
$$
\lim_{n\to \infty }  \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}+\frac{(2 n)^{1-s}-(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)}\right)=\left(1-2^{-s}\right) \zeta (s),\operatorname{Re}(s)>0
$$
Или
$$
\lim_{n\to \infty }  \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}\right)=\left(1-2^{-s}\right) \zeta (s),\operatorname{Re}(s)>0
$$
Тогда
$$
\left(1-2^{-s}\right) \zeta (s)=\lim_{n\to \infty }  \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)}\right),\operatorname{Re}(s)>0
$$

И после этого, я делаю вывод о том, что если $s$ - нуль дзета-функции, то будет верно, что при $n \to {\infty}$ имеет место
$$
\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}\to \frac{(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)},\operatorname{Re}(s)>0
$$
И
$$
\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\to \frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)},\operatorname{Re}(s)>0
$$

Давайте обсудим верность рассуждений, есть ли у участников замечания?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение20.04.2020, 00:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
maravan в сообщении #1455915 писал(а):
И после этого, я делаю вывод о том, что если $s$ - нуль дзета-функции, то будет верно, что при $n \to {\infty}$ имеет место
$$
\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}\to \frac{(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)},\operatorname{Re}(s)>0
$$
И
$$
\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\to \frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)},\operatorname{Re}(s)>0
$$

Давайте обсудим верность рассуждений, есть ли у участников замечания?


Писать "при $n\to \infty$ имеет место $a_n\to b_n$" некорректно. Особенно в случае, когда ни у одной последовательности самой по себе нет предела. В данном случае можно написать $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0$. Не только для формальной правильности, но и чтобы потом не возникло желания работать с несуществующми объектами $\lim\limits_{n\to\infty} a_n$ и $\lim\limits_{n\to\infty} b_n$ по отдельности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение20.04.2020, 00:56 


08/07/07
96
g______d Спасибо, понял вас, значит тогда, исходя из замечания.

Если $s$ - нуль дзета-функции, тогда будет верно
$$
\lim_{n\to \infty } (\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)})=0,\operatorname{Re}(s)>0
$$
И
$$
\lim_{n\to \infty } (\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)})=0,\operatorname{Re}(s)>0
$$

Такая запись ни у кого не вызывает вопросов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение20.04.2020, 01:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
maravan в сообщении #1456254 писал(а):
Такая запись ни у кого не вызывает вопросов?


Вроде, пока всё правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение21.04.2020, 02:10 


08/07/07
96
Идём дальше.

Утверждение
$$
\lim_{n\to \infty }\left(\frac{(2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}+\frac{1}{2 (2 n)^s}\right)=0,\operatorname{Re}(s)>0
$$

Докажем это.

Найдём предел
$$
\lim_{n\to \infty }\left(\left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right) (2 n)^{s}\right)
$$

Сделаем замену переменной
$$
2 n=\frac{1}{v}
$$

Тогда получим предел
$$
\lim_{n\to \infty }\left(\left(\left(\frac{1}{v}-1\right)^{1-s}-\left(\frac{1}{v}\right)^{1-s}\right) \left(\frac{1}{v}\right)^{s}\right)
$$

Сделаем замену переменной
$$
1-v=u
$$

Тогда получим предел
$$
\lim_{u\to 1}\left(-\frac{u^{1-s}-1}{u-1}\right)
$$

Применим правило Лопиталя, тогда
$$
\lim_{u\to 1}\left(-\frac{u^{1-s}-1}{u-1}\right)=-\lim_{u\to 1} \left(\frac{(1-s) u^{-s}}{1}\right)=-(1-s)
$$

Значит верно, что
$$
\lim_{n\to \infty }\left(\left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right) (2 n)^{s}\right)=-(1-s)
$$

Тогда
$$
\lim_{n\to \infty }\left(\frac{\left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right) (2 n)^{s}}{1-s}+1\right)=0
$$

Также верно, что
$$
\lim_{n\to \infty }\left(\frac{1}{(2 n)^s}\right)=0
$$

Умножим последние два предела, получим
$$
\lim_{n\to \infty }\left(\frac{\left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right) (2 n)^{s}}{1-s}+1\right) \lim_{n\to \infty }\left(\frac{1}{(2 n)^s}\right)=0
$$

Поскольку оба предела существуют, то
$$
\lim_{n\to \infty }\left(\left(\frac{\left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right) (2 n)^s}{1-s}+1\right)\left(\frac{1}{(2 n)^s}\right)\right)=0
$$

Тогда
$$
\lim_{n\to \infty }\left(\frac{(2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}}{1-s}+\frac{1}{(2 n)^s}\right)=0
$$

Разделим обе части равенства на 2, получим
$$
\lim_{n \to {\infty}}\left(\frac{(2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}+\frac{1}{2 (2 n)^s}\right)=0,\operatorname{Re}(s)>0 \qquad\qquad\qquad (3)
$$

Утверждение доказано.

Все согласны с утверждением?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение21.04.2020, 02:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Вроде пока правильно. Неявно предполагается, что $s\neq 1$, но это скорее всего не принципиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение22.04.2020, 01:05 


08/07/07
96
g______d Спасибо, верное замечание.

Идем дальше.

Используем связь между дзета - функцией и эта - функцией
$$
\zeta (s)=\frac{\eta (s)}{1-2^{1-s}},\operatorname{Re}(s)>0,s\neq 1
$$

Обозначим
$$
f(s)=\frac{\pi ^{-\frac{s}{2}} \eta (s) \Gamma \left(\frac{s}{2}\right)}{1-2\ 2^{-s}},\operatorname{Re}(s)>0,s\neq 0
$$

Тогда
$$
f(1-s)=\frac{\pi ^{-\frac{1}{2} (1-s)} \eta (1-s) \Gamma \left(\frac{1-s}{2}\right)}{1-2\ 2^{-(1-s)}},\operatorname{Re}(s)>0,s\neq 1
$$

Известно, что
$$
f(s)=f(1-s)
$$

Ссылки на литературу:
    1. Titchmarsh and D.R.Heath - Brown, The Theory of the Riemann Zeta - Function, Second Edition, стр.16, выражение (2.2.1)
    2. Tom M.Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, стр.260

Тогда, если $s$ - нуль дзета функции, то также верно, что
$$
\frac{f(s)}{f(1-s)}=1
$$

Или
$$
\frac{\frac{\pi ^{-\frac{s}{2}} \eta (s) \Gamma \left(\frac{s}{2}\right)}{1-2\ 2^{-s}}}{\frac{\pi ^{-\frac{1}{2} (1-s)} \eta (1-s) \Gamma \left(\frac{1-s}{2}\right)}{1-2\ 2^{-(1-s)}}}=1,\operatorname{Re}(s)>0,s\neq 1,s\neq 0 \qquad\qquad\qquad (4)
$$

Все согласны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение22.04.2020, 01:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
maravan в сообщении #1456787 писал(а):
Используем связь между дзета - функцией и эта - функцией
$$
\zeta (s)=\frac{\eta (s)}{1-2^{1-s}},\operatorname{Re}(s)>0,s\neq 1
$$


Здесь нужно аккуратнее: $s\neq 1+\frac{2\pi i n}{\ln(2)}$, $n\in \mathbb Z$. И далее тоже. При $n\neq 0$ особенность устранимая, но, поскольку дальше идут манипуляции с формульными выраждениями, нужно аккуратно следить за тем, понимаются ли эти формулы в точном смысле или в смысле предельного значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение22.04.2020, 01:26 


08/07/07
96
g______d Спасибо за замечание, не стал писать про эти значения, поскольку считал, что эта особенность устранимая, при $n=0$, получаем $s\neq1$.
Далее, постараюсь использовать эти замечания.

В остальном, учитывая ваши замечания, пока всё верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение22.04.2020, 01:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
maravan в сообщении #1456795 писал(а):
В остальном, учитывая ваши замечания, пока всё верно?


Мне нужно ещё какое-то время.

Есть ещё это:

maravan в сообщении #1456787 писал(а):
$$
f(1-s)=\frac{\pi ^{-\frac{1}{2} (1-s)} \eta (1-s) \Gamma \left(\frac{1-s}{2}\right)}{1-2\ 2^{-(1-s)}},\operatorname{Re}(s)>0,s\neq 1
$$


В правой части у Вас функция $\eta(1-s)$, которая у Вас была изначально определена только при $s<1$ (поскольку $\eta(s)$ определена только в правой полуплоскости исходной формулой). Видимо, Вы неявно предполагаете какое-то аналитическое продолжение. Это нужно сформулировать с более чёткими формулировками. Можно со ссылками: "в книге такой-то в разделе таком-то построено аналитическое продолжение с такими-то свойствами".

В данном случае это вроде бы понятно, но я бы предпочёл сейчас иметь всё на 100% корректно, чем через несколько страниц отматывать назад и говорить "а вот там на самом деле имелось в виду другое".

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение22.04.2020, 02:50 


08/07/07
96
g______d Спасибо, понял, что неточность в определении, не хватает внимательности.
Ссылка: Titchmarsh and D.R.Heath - Brown, The Theory of the Riemann Zeta - Function, Second Edition, стр. 20, утв. 2.5

В дальнейшем, мне будет достаточно интервала $\operatorname{Re}(s)\in (0,1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение22.04.2020, 02:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
maravan в сообщении #1456830 писал(а):
В дальнейшем, мне будет достаточно интервала $\operatorname{Re}(s)\in (0,1)$


Тогда понятнее и вроде бы (4) верно. Но, как и выше, только в смысле предельного значения при $s\to s_0$, где $\zeta(s_0)=0$.

Это важно, если Вы потом захотите этот предел переставить с каким-нибудь другим пределом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение24.04.2020, 22:27 


08/07/07
96
Идем дальше.

Рассмотрим первое определение $\eta$-функции
$$
\eta (s)=\lim_{n\to \infty }  \left(\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}} \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}} \frac{1}{(2 i)^s}\right),\operatorname{Re}(s)>0
$$

Тогда будет верно
$$
\eta (s)=\lim_{n\to \infty }  \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right),\operatorname{Re}(s)>0 \qquad\qquad\qquad(5)
$$

Используем ранее доказанные формулы, для нулей дзета-функции
$$
\lim_{n\to \infty }  \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)}\right)=0,\operatorname{Re}(s)>0
$$

И
$$
\lim_{n\to \infty }  \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}\right)=0,\operatorname{Re}(s)>0
$$

Поскольку два последних предела существуют, вычтем из первого второй, получим
$$
\lim_{n\to \infty }  \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}\right)=0,\operatorname{Re}(s)>0 \qquad\qquad\qquad(6)
$$

Поскольку пределы (5) и (6) существуют, вычтем из (5) (6), получим
$$
\eta (s)=\lim_{n\to \infty }  \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}+\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}+\frac{(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}\right),\operatorname{Re}(s)>0
$$

Тогда, если $s$ - нуль дзета-функции, то будет верно
$$
\eta (s)=\lim_{n\to \infty }\left(\frac{(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}\right),\operatorname{Re}(s)>0
$$

Используем ранее доказанное выражение
$$
\lim_{n\to \infty }\left(\frac{(2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}+\frac{1}{2 (2 n)^s}\right)=0,\operatorname{Re}(s)>0
$$

Поскольку последние два предела существуют, вычтем из первого второй, получим
$$
\eta (s)=\lim_{n\to \infty }\left(\frac{(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)}-\frac{1}{2 (2 n)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}-\frac{(2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}\right),\operatorname{Re}(s)>0
$$

Тогда, если $s$ - нуль дзета-функции, то будет верно
$$
\eta (s)=\lim_{n\to \infty }\left(-\frac{1}{2 (2 n)^s}\right),\operatorname{Re}(s)>0 \qquad\qquad\qquad(7)
$$

Все согласны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение24.04.2020, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
maravan в сообщении #1457756 писал(а):
согласны?


Вроде да. (7) означает, что из $\zeta(s)=0$ следует $\eta(s)=0$, что вроде является известным фактом. Зачем писать (7) в виде предела, если в правой части на самом деле стоит 0, я не очень понимаю, но формально верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение26.04.2020, 13:08 


08/07/07
96
Идем дальше.

Используем выражение (7), если $s$-нуль дзета-функции, тогда
$$
\eta (s)=\lim_{n\to \infty }\left(-\frac{1}{2 (2 n)^s}\right),\operatorname{Re}(s)>0
$$

И
$$
\eta (1-s)=\lim_{n\to \infty }\left(-\frac{1}{2 (2 n)^{1-s}}\right),\operatorname{Re}(s)<1
$$

Следовательно, если $s_0$ - нуль дзета-функции, можем записать
$$
\lim_{s\to s_0 }\left(\lim_{n\to \infty }\left(-\frac{1}{\eta (s) 2 (2 n)^s}\right)\right)=1,\operatorname{Re}(s)>0 \qquad\qquad\qquad(8)
$$

И
$$
\lim_{s\to s_0 }\left(\lim_{n\to \infty }\left(-\frac{1}{\eta (1-s) 2 (2 n)^{1-s}}\right)\right)=1,\operatorname{Re}(s)<1\qquad\qquad\qquad(9)
$$

Заметим, что $\eta(s)$ является непрерывной функцией, за исключением $s=1$ и значений, где функция $1-2^{1-s}=0$, тогда существует предел
$$
\lim_{s\to s_0 }\left(\frac{\eta (s)}{\eta (1-s)}\right)=k,\operatorname{Re}(s)\in(0,1),s\neq 0, s\neq 1, 1-2^{1-s}\neq0,1-2^s\neq 0,k\in \mathbb{C} \qquad\qquad\qquad(10)
$$

Согласны?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 82 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group