Метод генераторов в тригонометрии

[arseniiv]

Someone в сообщении #1457171 писал(а):

gris в сообщении #1457074 писал(а):

доказательство существования единой формулы, которая в общем случае допускает повторение корней …

В руководствах для подготовки абитуриентов можно встретить требование, чтобы каждый корень уравнения в ответе присутствовал ровно один раз.

Кошмар какой.

[Someone]

Я вообще не понимаю, зачем записывать ответ в виде одной формулы, дающей все корни. В случае уравнений с конечным множеством корней это почему-то никому в голову не приходит. Между тем, даже общепринятые формулы $x=\pm\alpha+2\pi n$ или $x=(-1)^n\alpha+\pi n$, $n\in\mathbb Z$, иногда бывают неудобными.
Хотя задача, конечно, занимательная. Типа "написать уравнение равностороннего треугольника в декартовых координатах".

[novichok2018]

Одна формула в тригонометрии - удобный повод рассказать простой способ решения уравнений в целых числах. Почему нет? А как требование - конечно, полный маразм.

[genk]

Someone
Вы можете предложить что-нибудь конструктивное вместо "ужаса"?

-- 23.04.2020, 09:44 --

nnosipov
Благодарю за ответ.Беда в том,что системы компьютерной алгебры(Maple,Wolfram)мало чем помогают(и уж ничего не доказывают),т.к.не свертывают функции "антье" в замкнутую форму.Для случая двух серий(а это наиболее часто встречающийся вариант ответа)программа еще как-то упрощает выражение,но не более того.

[nnosipov]

genk
Я не совсем понимаю конечную цель Ваших изысканий. Запись ответа единой формулой --- как-то непонятно, зачем это надо в школьных задачах (никогда не встречал подобных требований). Как я понял, Вы хотите не просто единой формулой, но и чтобы она была "наиболее простой". Но задачу упрощения надо еще корректно поставить, а это непростое дело. Я Вам привел пример, когда Ваша конструкция генераторов может быть полезна. Вот еще один пример, на этот раз связанный с упрощением. Комбинаторные задачи, как правило, имеют разные способы решений. Для подсчета некоторого количества были получены два разных выражения:

$$A=\left[\frac{n(14n^2+9n+2)}{4}\right], \quad B=3n^3+n^2+([n/2]+1)(2n^2-(2n-1)[n/2]).$$

Как установить, что $A=B$ тождественно? И какое из этих выражений является упрощением другого? С первым вопросом еще куда ни шло: есть примитивный алгоритм (который как раз свидетельствует о том, что единая формула, мягко говоря, не всегда удобна). А со вторым что делать? Я не знаю, здесь нужна какая-то теория.

[kotenok gav]

genk в сообщении #1457309 писал(а):

не свертывают функции "антье" в замкнутую форм

[gris]

Кстати, есть уравнения, в которых из серий "нули в числителе" надо вынуть серии "нули в знаменателе"

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1457213 писал(а):

написать уравнение равностороннего треугольника в декартовых координатах

Надеюсь, что на плоскости для координат вершин?
Попробую. $\dfrac {\big( \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}-\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}\big)^2+\big( \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}-\sqrt{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}\big)^2}{\big( (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\big)\cdot \big((x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2\big)\cdot \big((x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2\big)}=0$
А можно выкинуть радикалы и раскрыть все скобки

[Someone]

arseniiv в сообщении #1457190 писал(а):

Кошмар какой.

Ну не знаю. По-моему, естественное требование, с учётом того, что в школе считают только различные корни, то есть, у уравнения $(x-1)^5(x+1)^{22}=0$ — два корня, и в ответе должно быть что-нибудь типа $x_1=1,x_2=-1$ или $x\in\{1,-1\}$. И ответ к уравнению $\sin x=1$ должен быть записан в виде $x=\frac{\pi}2+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$, а не в виде $x=(-1)^n\frac{\pi}2+\pi n$, $n\in\mathbb Z$, потому что во втором варианте корни перечисляются дважды.

genk в сообщении #1457309 писал(а):

Вы можете предложить что-нибудь конструктивное вместо "ужаса"?

Меня традиционные способы записи ответов вполне устраивают. Даже с ними не всегда легко убедиться, что два "разных" ответа к одному тригонометрическому уравнению на самом деле совпадают, а уж если их по вашему рецепту превратить в длиннющие формулы… Представьте себе реакцию преподавателя, проверяющего экзаменационную работу на ЕГЭ, когда он в ответе увидит нечто в вашем стиле, и ему придётся выполнить кучу расчётов, чтобы сравнить ваш ответ со своим. Не говоря уже о том, что куча дополнительных расчётов с целью получения единой формулы для всех корней — это куча дополнительных поводов наделать кучу ошибок и потратить при этом кучу времени, которого хорошему ученику очень часто не хватает.

(gris)

gris в сообщении #1457318 писал(а):

Someone в сообщении #1457213 писал(а):

написать уравнение равностороннего треугольника в декартовых координатах

Надеюсь, что на плоскости для координат вершин?

На плоскости, конечно, но не для координат вершин. Имеется в виду уравнение вида $F(x,y)=0$, график которого давал бы контур равностороннего треугольника. Для определённости предполагаем, что сторона треугольника равна $a$, $a>0$, его центр совпадает с началом координат, и одна из вершин лежит на положительной части оси $Oy$.

Такой вопрос у меня появился в девятом классе, когда где-то мне попались аналогичные уравнения для квадрата: $\lvert x\rvert+\lvert y\rvert=\frac a{\sqrt{2}}$ и $\lvert x+y\rvert+\lvert x-y\rvert=a$.

[arseniiv]

Someone
Хм, всё равно странно. Я бы понял если бы хотели учитывать кратность и писать каждый корень столько раз, какова она, но для уравнения $\sin x = 1$ как раз тогда надо будет писать каждый по два раза…

(И вспомнив про кратность решений, надо признать, что выше я оптимистично сказал ТС, что решения уравнения образуют множество. Когда для интересующего вида уравнений определена кратность, конечно уже не просто множество.)

[gris]

(Someone)

Да, это школьные забавы. С помощью модулей (абс. вел.) можно составлять уравнения отрезков, прямоугольников, кусков кривых и даже внутренностей фигур. Записывать систему или совокупность в виде одного уравнения. Продвинутый школьник любит придерживаться определённого стиля. Конечно, не ради ЕГЭ. И не ради школьной математики.
Можно Ваше уравнение составить как $\big|\rho\big((x,y),(0,\sqrt3 a/3)\big)+\rho\big((x,y),(-a/2,-\sqrt3 a/6)\big)-a\big|+\big|...\big|+\big|...\big|=0$
Можно расписать расстояния. Наверное, есть более компактное и красивое уравнение. Ах, если бы мне снова стать школьником

[Утундрий]

Несколько более взрослая версия этих забав: R-функции

[Someone]

(gris)

gris в сообщении #1457401 писал(а):

Наверное, есть более компактное и красивое уравнение.

$$\left\lvert 6\lvert x\rvert+2y\sqrt{3}-a\right\rvert+6\lvert x\rvert=3a,$$

где $a>0$ — сторона треугольника.