Метод генераторов в тригонометрии

[genk]

Школьники на уроках по тригонометрии часто задают вопрос:можно ли записать несколько серий корней тригонометрического уравнения одной формулой? Можно,причем многими способами и для любого количества серий.Для этого существует метод(я назвал его методом генераторов),который состоит в следующем.
Если заданы $k$ последовательностей $\left (a_n \right )$,$\left (b_n \right )$,$\left (c_n \right )$,...,$\left (d_n \right )$,занумерованных целыми числами $n \in \mathbb{Z} $,то достаточно подобрать генераторы(индикаторы,характеристические функции числа $k$) $\varepsilon_n=\left (...1,0,0,...,0,1,0,0,...,0,1,... \right )$ (здесь после 1 следует $k-1$ нулей) так,чтобы для последовательности $\left (x_n \right )$ корней тригонометрического уравнения имела место формула

$$x_n=\varepsilon_{n+k-2}a_\frac{n+k-1}{k}+\varepsilon_{n+k-3}b_{\frac{n+k-2}{k}}+\varepsilon_{n+k-4}c_{\frac{n+k-3}{k}}+...+\varepsilon_{n-1}d_{\frac{n}{k}} \qquad \left (1 \right ).$$

Тогда последовательность $\left (x_n \right )$ будет иметь вид $\left (...a_{-1},b_{-1},c_{-1},...,d_{-1},a_0,b_0,c_0,...,d_0,a_1,b_1,c_1,...,d_1,... \right ).$
Если какие-то серии пересекаются,то общие члены будут появляться в $x_n$ несколько раз под разными номерами.То,что в формуле $\left (1 \right )$ индексы последовательностей дробные,не должно смущать:все равно все слагаемые обратятся в нули,кроме одного-как раз того,где индекс станет целым.
Так,при $k=2$ формула $\left (1 \right )$ примет вид $x_n = \varepsilon_na_{\frac{n+1}{2}}+\varepsilon_{n-1}b_\frac{n}{2},$ и для генератора с $1$ на нечетных местах и $0$ на четных получим
$x_n=\left (...a_{-1},b_{-1},a_0,b_0,a_1,b_1,...\right ),$а при $k=3$ будем иметь $x_n=\varepsilon_{n+1}a_{\frac{n+2}{3}}+\varepsilon_nb_{\frac{n+1}{3}}+\varepsilon_{n-1}c_\frac{n}{3},$ и для соответствующего генератора получим $x_n=\left (...a_{-1},b_{-1},c_{-1},a_0,b_0,c_0,a_1,b_1,c_1,...\right ).$
Осталось выбрать формулу для генератора.Таких формул придумано множество,и выбор нужной-дело вкуса.Например,для $k=3$ годятся формулы $\varepsilon_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cos\frac{2\pi n}{3}$ или $\varepsilon_n=\frac{1}{2}\left (1+\left (-1 \right )^{n+\left [ \frac{n+1}{3} \right ]}\right )$ (здесь [$x$] означает функцию "антье",т.е.целую часть от $x$;сейчас она все чаще обозначается как $\left\lfloor x \right\rfloor$ и называется "полом") или даже $\varepsilon_n=\left \lceil \cos\frac{2\pi n}{3} \right \rceil$,где $\left \lceil x \right \rceil$ означает функцию "потолок",т.е. наименьшее целое,большее или равное $x$ (а скоро будут и стены).
Мне больше нравится общая формула $\varepsilon_n=\left [\frac{n+1}{k} \right ]-\left [ \frac{n}{k} \right ] \qquad \left (2 \right ) $,пригодная для любого $k \in \mathbb{N}. $ Обратимся к примерам.

Пример 1. $ \sin3x \cos x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left[\!\begin{aligned} & x=\frac{\pi n}{3},n \in \mathbb{Z} \\ & x=\frac{\pi}{2}+\pi k,k \in \mathbb{Z}. \end{aligned}\right. $

Генератор $ \left (2 \right )$ примет вид $\varepsilon_n=\left [\frac{n+1}{2} \right ]-\left [\frac{n}{2} \right ]$,и заменяя во второй серии корней букву $k$ буквой $n$,будем иметь

$x_n=\varepsilon_n\frac{\pi(n+1)}{6}+\varepsilon_{n-1}\left (\frac{\pi}{2}+\frac{\pi n}{2}\right )=\left (\left [\frac{n+1}{2}\right ]-\left [\frac{n}{2}\right ]\right )\frac{\pi(n+1)}{6}+\left (\left [\frac{n}{2}\right ]-\left [\frac{n-1}{2}\right ]\right )\frac{\pi(n+1)}{2}=\frac{\pi(n+1)}{6}\left (\left [\frac{n+1}{2}\right ]+2\left [\frac{n}{2}\right ]-3\left [\frac{n-1}{2}\right ]\right ).$
Теперь,используя свойства функции антье,находим:
при четном $n=2k\quad \Rightarrow \quad \left [\frac{2k+1}{2}\right ]+2k-3\left [\frac{2k-1}{2}\right ]=k+2k-3(k-1)=3$;
при нечетном $n=2k+1\quad \Rightarrow \quad k+1+2\left [\frac{2k+1}{2}\right ]-3k=k+1+2k-3k=1$.
Следовательно,$x_n = \begin{cases} \frac{\pi(n+1)}{2},n=2k \\ \frac{\pi(n+1)}{6},n=2k+1 \end{cases}$,что можно записать в виде одного равенства
$x_n=\frac{1+(-1)^n}{2}\frac{\pi(n+1)}{2}+\frac{1+(-1)^{n+1}}{2}\frac{\pi(n+1)}{6}=\frac{\pi(n+1)}{12}\left (3+3(-1)^n+1+(-1)^{n+1}\right )=\frac{\pi(n+1)}{6}\left (2+(-1)^n\right ), n \in \mathbb{Z}.$

Это и есть общая формула для двух серий корней.
Пример 2. $1+\cos x=2 \cos^2{x} \quad \Leftrightarrow \quad \left[\!\begin{aligned} & x=2\pi n,n \in \mathbb{Z} \\ & x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,k \in \mathbb{Z}. \end{aligned}\right.$
Фактически,здесь три серии корней $\qquad \left[\!\begin{aligned} & x=2\pi n,n \in \mathbb{Z} \\ & x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,k \in \mathbb{Z} \\ & x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,m \in \mathbb{Z}. \end{aligned}\right.$
(вот они,стены-то)
Генератор $\left(2 \right)$ принимает вид $\varepsilon_n=\left[\frac{n+1}{3} \right]- \left[\frac{n}{3} \right]$ и,как и выше,переходя к переменной $n$,получим
$x_n=\varepsilon_{n+1}\frac{2\pi(n+2)}{3}+\varepsilon_n \left(\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi(n+1)}{3} \right)+\varepsilon_{n-1} \left(-\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3} \right)=\left(\left[\frac{n+2}{3}\right]- \left[\frac{n+1}{3}\right] \right)\frac{2\pi(n+2)}{3}+\left( \left[\frac{n+1}{3}\right]-\left[\frac{n}{3}\right] \right)\frac{2\pi(n+2)}{3}+\left(\left[\frac{n}{3}\right]-\left[\frac{n-1}{3}\right]\right)\frac{2\pi(n-1)}{3}=\frac{2\pi n}{3}\left(\left[\frac{n+2}{3}\right]-\left[\frac{n-1}{3}\right]\right)+\frac{2\pi}{3}\left(2\left[\frac{n+2}{3}\right]-3\left[\frac{n}{3}\right]+\left[\frac{n-1}{3}\right]\right).$

Теперь,при $n=3k \quad \Rightarrow \quad \left[\frac{3k+2}{3}\right]=k,\left[\frac{3k-1}{3}\right]=k-1,\left[\frac{n}{3}\right]=k,$
и $x_n=\frac{2\pi n}{3}\left(k-(k-1)\right)+\frac{2\pi}{3}\left(2k-3k+k-1 \right)=\frac{2\pi n}{3}-\frac{2\pi}{3}=\frac{2\pi(n-1)}{3};$
$n=3k+1 \quad \Rightarrow \quad x_n=\frac{2\pi n}{3}(k+1-k)+\frac{2\pi}{3}(2k+2-3k+k)=\frac{2\pi n}{3}+\frac{4\pi}{3}=\frac{2\pi(n+2)}{3};$
$n=3k+2 \quad \Rightarrow \quad x_n=\frac{2\pi n}{3}(k+1-k)+\frac{2\pi}{3}(2k+2-3k+k)=\frac{2\pi n}{3}+\frac{4\pi}{3}=\frac{2\pi(n+2)}{3}.$
Поскольку при любом $n$ члены последовательности кратны $\frac{2\pi}{3}$,то $x_n=\frac{2\pi n}{3},n \in \mathbb{Z}$ есть общая формула для трех серий корней.
Но для данного примера конечный результат легко увидеть непосредственно из первоначальной совокупности серий.Таким образом,метод генераторов ввиду своей общности малоэффективен для практических вычислений.
Выношу на Форум вопрос:а есть ли более эффективный метод решения поставленной задачи?

[arseniiv]

Задачи «записать произвольный корень уравнения одним и тем же выражением»? Раз мы допускаем зависимость этого выражения от некоторого целого $n$, мы так же можем допустить зависимость ещё от какого-нибудь $m\in\{1,2,3,4\}$ и записать ну хотя бы с теми же скобками Айверсона $a_n[m=1] + b_n[m=2] + c_n[m=3] + d_n[m = 4]$. Или мы можем не вводить этих скобок, а вместо $m$ взять $(m_a,m_b,m_c,m_d)\in\{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)$ и получить $a_n m_a + b_n m_b + c_n m_c + d_n m_d$. И возможно ещё что-то в подобном духе можно записать, но сама-то задача довольно искусственна. Лучше записывать множество всех решений, и тогда легко можно взять объединение $\{a_n\mid n\in\mathbb Z\}\cup\{b_n\mid n\in\mathbb Z\}\cup\ldots$

[genk]

arseniiv
Конечно,искусственна!Но математика ведь искусство,не правда ли.К тому же,я должен дать своим ученикам ответ на конкретно поставленный вопрос,а меня учили,что на заданный вопрос всегда надо давать ответ-положительный,отрицательный или...алгоритмически неразрешимый.Мне кажется,что кроме метода генераторов общих методов нет или я ошибаюсь?Конечно,для случая двух-трех серий корней,что имеет место в подавляющем большинстве,можно привлечь диофантовы уравнения,какие-то искусственные приемы и т.п.,но эффективного общего метода я не знаю.

[arseniiv]

genk в сообщении #1456710 писал(а):

а меня учили,что на заданный вопрос всегда надо давать ответ-положительный,отрицательный или...алгоритмически неразрешимый

Ну если вопрос сомнительный, то иногда не надо. Если посмотреть, чем может быть полезен ответ на такой вопрос в будущем, то окажется, что особо ничем: в общем случае могут понадобиться самые разные представления решений самых разных уравнений, плюс возьмём хотя бы простейшее неравенство и получим скорее всего целый континуум решений, которые уже никак не «перенумеруешь» в разумном смысле.

genk в сообщении #1456710 писал(а):

Мне кажется,что кроме метода генераторов общих методов нет или я ошибаюсь?

Ну вот я выше две альтернативы предложил. По-моему более простые, потому что там корни не нумеруются одним числом.

[nnosipov]

genk в сообщении #1456632 писал(а):

Мне больше нравится общая формула $\varepsilon_n=\left [\frac{n+1}{k} \right ]-\left [ \frac{n}{k} \right ] \qquad \left (2 \right ) $,пригодная для любого $k \in \mathbb{N}. $

В принципе, это вполне рабочая формула в том смысле, что получаемые на ее основе выражения дальше вполне можно обрабатывать автоматически. Например, суммировать по $n$. Если коэффициентами при $\varepsilon_n$ служат полиномы от $n$, то такие выражения суммируются системами компьютерной алгебры в замкнутом виде, причем ответ дается тоже в терминах функции entier. Проблема, однако, может быть в неоптимальности записи ответа, но это уже другой вопрос. А так ответ будет получен, во всяком случае, в замкнутой форме.

[genk]

arseniiv
Вы считаете,что вопрос сомнительный?Но так не считает многотысячная аудитория студентов и учителей,интересующихся записью ответов в сокращенной форме.Ваши альтернативные предложения не приводят к компактной записи ответа $x_n=\frac{2\pi n}{3}$ из Примера 2 моего сообщения о методе генераторов.Согласитесь,что этот ответ намного привлекательней,чем объединение двух громоздких серий.

[Утундрий]

Я бы нанёс эти серии на тригонометрическую окружность и потом немного подумал. Но так тоже интересно.

[gris]

А как нанести на окружность серию для корней ур-я $\sin \pi x=0$

[nnosipov]

Как как? Постепенно, спешить-то некуда, Вы же на самоизоляции, как и все добропорядочные граждане. В любом случае, это проще, чем затыкать тряпками оставшиеся прорехи.

[Someone]

genk в сообщении #1456986 писал(а):

Вы считаете,что вопрос сомнительный?Но так не считает многотысячная аудитория студентов и учителей,интересующихся записью ответов в сокращенной форме.

Вряд ли под "записью в сокращённой форме" они имеют в виду тот ужас, который у Вас получается.

[Утундрий]

gris в сообщении #1457037 писал(а):

как нанести на окружность серию для корней ур-я $\sin \pi x=0$

Взять $\pi x$, да и нанести.

[gris]

Ну я хотел сказать, что нанесение на окружность или спираль из нескольких витков очень наглядно и позволяет избежать повторения корней в формуле и даёт представление о распределении корней на периоде, который является "НОКом периодов серий, а если периоды несоизмеримы?
То есть метод ТС это конструктивное доказательство существования единой формулы, которая в общем случае допускает повторение корней и не наглядна, но иногда даёт красивые решения.

[Утундрий]

gris в сообщении #1457074 писал(а):

метод ТС это конструктивное доказательство существования единой формулы, которая в общем случае допускает повторение корней и не наглядна, но иногда даёт красивые решения.

Однако, при всей своей конструктивности, метод ТС пока что не позволяет полностью исключить из процесса получения решения такой ненадёжный инструмент как мозг. Впрочем, работы продолжаются, так что пожелаем ТС всяческих успехов.

[arseniiv]

genk в сообщении #1456986 писал(а):

Вы считаете,что вопрос сомнительный?Но так не считает многотысячная аудитория студентов и учителей,интересующихся записью ответов в сокращенной форме.

Ну может лишь из-за того что на них сели методисты, которым делать нечего, и отчасти от того что в ЕГЭ/ОГЭ что-то там не записывается в виде строки из небольшого числа символов. Но всё это можно перекроить.

genk в сообщении #1456986 писал(а):

Ваши альтернативные предложения не приводят к компактной записи ответа $x_n=\frac{2\pi n}{3}$ из Примера 2 моего сообщения о методе генераторов.

Ну тут частью удача срабатывает. Можно придумать пример, где сокращение есть, но получить его автоматически без удачного стечения обстоятельств нельзя. Кроме того я ещё раз скажу, что решения уравнения per se образуют лишь множество, и не обязательно пытаться их вытягивать в последовательность, тратя на это лишние силы. Такое действие вряд ли каждый раз будет говорить что-то полезное о множестве решений.

[Someone]

gris в сообщении #1457074 писал(а):

доказательство существования единой формулы, которая в общем случае допускает повторение корней …

В руководствах для подготовки абитуриентов можно встретить требование, чтобы каждый корень уравнения в ответе присутствовал ровно один раз.