2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пример из Сканави (преобразования кубических радикалов)
Сообщение26.03.2006, 23:01 


25/03/06
12
Ребята, у кого в результате алгебраческих преобразований ноль в ответе получается? У меня никак.

Группа Б. 1.230.

\[
\left( {\sqrt[3]{\frac{{8z^3  + 24z^2  + 18z}}
{{2z - 3}}}  - \sqrt[3] {\frac{{8z^3  - 24z^2  + 18z}}
{{2z + 3}}} } \right) - \left( {\frac{1}
{2} \cdot \sqrt[3] {\frac{{2z}}
{{27}} - \frac{1}
{{6z}}} } \right)^{ - 1} 
\]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.03.2006, 23:53 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Тут и не может быть 0. На это указывает хотя бы z=0 (первый стремится к нулю как 4/3 степень, вторая как 1/3 степень), а вблизи бесконечности первый стремится к бесконечности, второй к нулю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.03.2006, 00:26 


25/03/06
12
Руст, спасибо за содействие.
Хотя, странно, в ответе ноль написано.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.03.2006, 00:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Хм. С помощью Mathematica 4.1 вычислил это выражение при $z=3$ и при $z=3.5$. В обоих случаях получил $0.$.

А если рассмотреть разность кубов этих скобок? Желательно, однако поупрощать предварительно. Там, кажется, некоторое количество общих множителей обнаруживается, и, после их вынесения, корни извлекаются, так что даже и в куб возводить не придётся.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.03.2006, 02:35 


25/03/06
12
Ребята, на самом деле это я тормоз :)
Там всё элементарно. Когда решал, квадраты забыл дописать при разложении на множители, обормот такой.
И, таки, ноль получается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.03.2006, 07:40 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Да при упрощении первой я допустил ошибку. Имеем:
$p=\frac{2z(2z+3)^2}{2z-3},q=\frac{2z(2z-3)^2}{2z+3}$. Соответственно:
$p^{1/3}-q^{1/3}=\frac{p-q}{p^2+pq+q^2}=\frac{2z(2z+3)(2z-3)[(2z+3)^2-(2z-3)^2]}{(2z)^{2/3}[(2z-3)^{1/3}(2z+3)^{7/3}+(2z+3)^{4/3}(2z-3)^{4/3}+(2z-3)^{7/3}(2z+3)^{1/3}]}$.
Это дает:
$p^{1/3}-q^{1/3}=(2z+3)^{2/3}(2z-3)^{2/3}(2z)^{-1/3} \frac{8z}{4z^2+3}]=(\frac{4^3[2z(4z^2-9)]^2}{(4z^2+3)^3})^{1/3}$.
Порядки в нуле и бесконечности изменились, однако всё ещё не совпадают со вторым членом, возможно опять допустил ошибку.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.03.2006, 09:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
В знаменателе во второй строке ошибка.
Цитата:
$p^{1/3}-q^{1/3}=\frac{p-q}{p^2+pq+q^2}

Нужно
$p^{1/3}-q^{1/3}=\frac{p-q}{p^{2/3}+p^{1/3}q^{1/3}+q^{2/3}}

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.03.2006, 09:15 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Это верно, но это только опечатка, а не ошибка, так как я на самом деле пользуюсь правильным видом формул.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.03.2006, 12:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Умножить числитель и знаменатель под первым корнем на $2z+3$ под вторым на $2z-3$, корни в числителе извлекутся и всё радостно сокращается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.03.2006, 16:21 


25/03/06
12
И ещё один пример, который у меня не получается. Группа Б. 1.196.

\[
\frac{{a + b}}
{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2 }}\left( {\frac{{3ab - b\sqrt {ab}  + a\sqrt {ab}  - 3b^2 }}
{{\frac{1}
{2}\sqrt {\frac{1}
{4}\left( {\frac{a}
{b} + \frac{b}
{a}} \right)^2  - 1} }} + \frac{{4ab\sqrt a  + 9ab\sqrt b  - 9b^2 \sqrt a }}
{{\frac{3}
{2}\sqrt b  - 2\sqrt a }}} \right);a > b > 0
\]

Первое слагаемое в скобках прекрасно разлагается на множители. А вот второе ни туда и ни сюда. В такие дебри залажу. Может я что не так делаю?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.03.2006, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Корень в знаменателе первой дроби извлекается (будьте только аккуратны со знаком). После этого я заменил $\sqrt a \to \alpha$, $\sqrt b \to \beta$, и упрощал получившееся рациональное выражение. Получил $-2  b(a + 3\sqrt{a  b})$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2006, 05:15 


25/03/06
12
Незванный гость, подскажи, тебе удалось разложить на множители числитель второго слагаемого в скобках? Или ты сразу сложил два слагаемых и привёл подобные члены?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2006, 06:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Во втором слагаемом в скобках числитель делится на знаменатель. """Don't panic!"""

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group