2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Пример из Сканави (преобразования кубических радикалов)
Сообщение26.03.2006, 23:01 
Ребята, у кого в результате алгебраческих преобразований ноль в ответе получается? У меня никак.

Группа Б. 1.230.

\[
\left( {\sqrt[3]{\frac{{8z^3  + 24z^2  + 18z}}
{{2z - 3}}}  - \sqrt[3] {\frac{{8z^3  - 24z^2  + 18z}}
{{2z + 3}}} } \right) - \left( {\frac{1}
{2} \cdot \sqrt[3] {\frac{{2z}}
{{27}} - \frac{1}
{{6z}}} } \right)^{ - 1} 
\]

 
 
 
 
Сообщение26.03.2006, 23:53 
Тут и не может быть 0. На это указывает хотя бы z=0 (первый стремится к нулю как 4/3 степень, вторая как 1/3 степень), а вблизи бесконечности первый стремится к бесконечности, второй к нулю.

 
 
 
 
Сообщение27.03.2006, 00:26 
Руст, спасибо за содействие.
Хотя, странно, в ответе ноль написано.

 
 
 
 
Сообщение27.03.2006, 00:32 
Аватара пользователя
Хм. С помощью Mathematica 4.1 вычислил это выражение при $z=3$ и при $z=3.5$. В обоих случаях получил $0.$.

А если рассмотреть разность кубов этих скобок? Желательно, однако поупрощать предварительно. Там, кажется, некоторое количество общих множителей обнаруживается, и, после их вынесения, корни извлекаются, так что даже и в куб возводить не придётся.

 
 
 
 
Сообщение27.03.2006, 02:35 
Ребята, на самом деле это я тормоз :)
Там всё элементарно. Когда решал, квадраты забыл дописать при разложении на множители, обормот такой.
И, таки, ноль получается.

 
 
 
 
Сообщение27.03.2006, 07:40 
Да при упрощении первой я допустил ошибку. Имеем:
$p=\frac{2z(2z+3)^2}{2z-3},q=\frac{2z(2z-3)^2}{2z+3}$. Соответственно:
$p^{1/3}-q^{1/3}=\frac{p-q}{p^2+pq+q^2}=\frac{2z(2z+3)(2z-3)[(2z+3)^2-(2z-3)^2]}{(2z)^{2/3}[(2z-3)^{1/3}(2z+3)^{7/3}+(2z+3)^{4/3}(2z-3)^{4/3}+(2z-3)^{7/3}(2z+3)^{1/3}]}$.
Это дает:
$p^{1/3}-q^{1/3}=(2z+3)^{2/3}(2z-3)^{2/3}(2z)^{-1/3} \frac{8z}{4z^2+3}]=(\frac{4^3[2z(4z^2-9)]^2}{(4z^2+3)^3})^{1/3}$.
Порядки в нуле и бесконечности изменились, однако всё ещё не совпадают со вторым членом, возможно опять допустил ошибку.

 
 
 
 
Сообщение27.03.2006, 09:00 
Аватара пользователя
В знаменателе во второй строке ошибка.
Цитата:
$p^{1/3}-q^{1/3}=\frac{p-q}{p^2+pq+q^2}

Нужно
$p^{1/3}-q^{1/3}=\frac{p-q}{p^{2/3}+p^{1/3}q^{1/3}+q^{2/3}}

 
 
 
 
Сообщение27.03.2006, 09:15 
Это верно, но это только опечатка, а не ошибка, так как я на самом деле пользуюсь правильным видом формул.

 
 
 
 
Сообщение27.03.2006, 12:25 
Аватара пользователя
Умножить числитель и знаменатель под первым корнем на $2z+3$ под вторым на $2z-3$, корни в числителе извлекутся и всё радостно сокращается.

 
 
 
 
Сообщение27.03.2006, 16:21 
И ещё один пример, который у меня не получается. Группа Б. 1.196.

\[
\frac{{a + b}}
{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2 }}\left( {\frac{{3ab - b\sqrt {ab}  + a\sqrt {ab}  - 3b^2 }}
{{\frac{1}
{2}\sqrt {\frac{1}
{4}\left( {\frac{a}
{b} + \frac{b}
{a}} \right)^2  - 1} }} + \frac{{4ab\sqrt a  + 9ab\sqrt b  - 9b^2 \sqrt a }}
{{\frac{3}
{2}\sqrt b  - 2\sqrt a }}} \right);a > b > 0
\]

Первое слагаемое в скобках прекрасно разлагается на множители. А вот второе ни туда и ни сюда. В такие дебри залажу. Может я что не так делаю?

 
 
 
 
Сообщение27.03.2006, 21:50 
Аватара пользователя
:evil:
Корень в знаменателе первой дроби извлекается (будьте только аккуратны со знаком). После этого я заменил $\sqrt a \to \alpha$, $\sqrt b \to \beta$, и упрощал получившееся рациональное выражение. Получил $-2  b(a + 3\sqrt{a  b})$

 
 
 
 
Сообщение28.03.2006, 05:15 
Незванный гость, подскажи, тебе удалось разложить на множители числитель второго слагаемого в скобках? Или ты сразу сложил два слагаемых и привёл подобные члены?

 
 
 
 
Сообщение28.03.2006, 06:38 
Аватара пользователя
:evil:
Во втором слагаемом в скобках числитель делится на знаменатель. """Don't panic!"""

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group