Пример из Сканави (преобразования кубических радикалов)

[ahropak]

Ребята, у кого в результате алгебраческих преобразований ноль в ответе получается? У меня никак.

Группа Б. 1.230.

\[ \left( {\sqrt[3]{\frac{{8z^3 + 24z^2 + 18z}} {{2z - 3}}} - \sqrt[3] {\frac{{8z^3 - 24z^2 + 18z}} {{2z + 3}}} } \right) - \left( {\frac{1} {2} \cdot \sqrt[3] {\frac{{2z}} {{27}} - \frac{1} {{6z}}} } \right)^{ - 1} \]

[Руст]

Тут и не может быть 0. На это указывает хотя бы z=0 (первый стремится к нулю как 4/3 степень, вторая как 1/3 степень), а вблизи бесконечности первый стремится к бесконечности, второй к нулю.

[ahropak]

Руст, спасибо за содействие.
Хотя, странно, в ответе ноль написано.

[Someone]

Хм. С помощью Mathematica 4.1 вычислил это выражение при $z=3$ и при $z=3.5$. В обоих случаях получил $0.$.

А если рассмотреть разность кубов этих скобок? Желательно, однако поупрощать предварительно. Там, кажется, некоторое количество общих множителей обнаруживается, и, после их вынесения, корни извлекаются, так что даже и в куб возводить не придётся.

[ahropak]

Ребята, на самом деле это я тормоз
Там всё элементарно. Когда решал, квадраты забыл дописать при разложении на множители, обормот такой.
И, таки, ноль получается.

[Руст]

Да при упрощении первой я допустил ошибку. Имеем:
$p=\frac{2z(2z+3)^2}{2z-3},q=\frac{2z(2z-3)^2}{2z+3}$. Соответственно:
$p^{1/3}-q^{1/3}=\frac{p-q}{p^2+pq+q^2}=\frac{2z(2z+3)(2z-3)[(2z+3)^2-(2z-3)^2]}{(2z)^{2/3}[(2z-3)^{1/3}(2z+3)^{7/3}+(2z+3)^{4/3}(2z-3)^{4/3}+(2z-3)^{7/3}(2z+3)^{1/3}]}$.
Это дает:
$p^{1/3}-q^{1/3}=(2z+3)^{2/3}(2z-3)^{2/3}(2z)^{-1/3} \frac{8z}{4z^2+3}]=(\frac{4^3[2z(4z^2-9)]^2}{(4z^2+3)^3})^{1/3}$.
Порядки в нуле и бесконечности изменились, однако всё ещё не совпадают со вторым членом, возможно опять допустил ошибку.

[shwedka]

В знаменателе во второй строке ошибка.

Цитата:

$p^{1/3}-q^{1/3}=\frac{p-q}{p^2+pq+q^2}

Нужно
$p^{1/3}-q^{1/3}=\frac{p-q}{p^{2/3}+p^{1/3}q^{1/3}+q^{2/3}}

[Руст]

Это верно, но это только опечатка, а не ошибка, так как я на самом деле пользуюсь правильным видом формул.

[shwedka]

Умножить числитель и знаменатель под первым корнем на $2z+3$ под вторым на $2z-3$, корни в числителе извлекутся и всё радостно сокращается.

[ahropak]

И ещё один пример, который у меня не получается. Группа Б. 1.196.

\[ \frac{{a + b}} {{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2 }}\left( {\frac{{3ab - b\sqrt {ab} + a\sqrt {ab} - 3b^2 }} {{\frac{1} {2}\sqrt {\frac{1} {4}\left( {\frac{a} {b} + \frac{b} {a}} \right)^2 - 1} }} + \frac{{4ab\sqrt a + 9ab\sqrt b - 9b^2 \sqrt a }} {{\frac{3} {2}\sqrt b - 2\sqrt a }}} \right);a > b > 0 \]

Первое слагаемое в скобках прекрасно разлагается на множители. А вот второе ни туда и ни сюда. В такие дебри залажу. Может я что не так делаю?

[незваный гость]

Корень в знаменателе первой дроби извлекается (будьте только аккуратны со знаком). После этого я заменил $\sqrt a \to \alpha$, $\sqrt b \to \beta$, и упрощал получившееся рациональное выражение. Получил $-2 b(a + 3\sqrt{a b})$

[ahropak]

Незванный гость, подскажи, тебе удалось разложить на множители числитель второго слагаемого в скобках? Или ты сразу сложил два слагаемых и привёл подобные члены?

[незваный гость]

Во втором слагаемом в скобках числитель делится на знаменатель. """Don't panic!"""