Вопрос № 3. Односторонние пределы монотонных функцийДоказать или опровергнуть утверждение: неубывающая функция
имеет правосторонний предел в каждой своей точке.
Попытаемся по определению. Число
называется правосторонним пределом функции
в точке
, если для всякой сходящейся к
последовательности аргументов
, все элементы которой больше
, соответствующая последовательность значений функции
сходится к
.
Можно доказать, что последовательность значений функции
ограничена. Последовательность аргументов
по условию ограничена снизу числом
, а сверху некоторым числом
. Функция неубывающая, значит, последовательность значений функции
ограничена числами
и
, соответственно.
Интуитивно кажется, что в силу неубывания функции
последовательность значений функции
, за исключением, быть может, конечного числа членов, распадается на конечное число монотонно невозрастающих подпоследовательностей. Но доказать это я не могу.