Наивные вопросы о вещественной прямой и функциях на ней

[Padawan]

Тех отрезков, объединением которых Вы хотите получить интервал $(0,1)$. Это значит, что если эти отрезки выкинуть, то ничего не останется. А на самом деле останется континуальное множество.

[Anton_Peplov]

Верно ли будет сформулировать это так?
Пусть $\{A_\alpha\}$ - система попарно непересекающихся отрезков такая, что $\bigcup_\alpha A_\alpha = (0,1)$. Требуется доказать, что система $\{\operatorname{Fr} A_\alpha\}$ континуальна ($\operatorname{Fr}$ = граница). Тогда и $\{A_\alpha\}$ континуальна.

[Padawan]

Ну, можно и так. Как следствие. Я бы просто от противного доказывал. Предположим, что $\bigcup\limits_{n=1}^\infty [a_n,b_n]=(0,1)$, $[a_i,b_i]\cap [a_j,b_j]=\varnothing, i\neq j$. И доказал бы, что $(0,1)\setminus \bigcup\limits_{n=1}^\infty (a_n,b_n)$ имеет мощность континуум. Противоречие.

-- Вс апр 19, 2020 20:09:51 --

Теренс Тао в своем блоге писал, что у него на семинаре студенты задали ему этот вопрос и он с ходу не смогу доказать.
https://terrytao.wordpress.com/2010/10/04/covering-a-non-closed-interval-by-disjoint-closed-intervals/

[Anton_Peplov]

Спасибо! Интересное доказательство.

[Padawan]

Ну мне кажется теорема Бэра в этой задаче из пушки по воробьям. Проще все. Строим канторово множество.

[Pphantom]

Сообщения злостного клона и связанные с ними удалены.

[Anton_Peplov]

Вопрос № 3. Односторонние пределы монотонных функций

Доказать или опровергнуть утверждение: неубывающая функция $f: \mathbb {R \to R}$ имеет правосторонний предел в каждой своей точке.

Попытаемся по определению. Число $b$ называется правосторонним пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для всякой сходящейся к $a$ последовательности аргументов $\{x_n\}$, все элементы которой больше $a$, соответствующая последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ сходится к $b$.

Можно доказать, что последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ ограничена. Последовательность аргументов $\{x_n\}$ по условию ограничена снизу числом $a$, а сверху некоторым числом $x_m$. Функция неубывающая, значит, последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ ограничена числами $f(a)$ и $f(x_m)$, соответственно.

Интуитивно кажется, что в силу неубывания функции $f$ последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$, за исключением, быть может, конечного числа членов, распадается на конечное число монотонно невозрастающих подпоследовательностей. Но доказать это я не могу.

[worm2]

Имхо, проще будет через точную нижнюю грань (которая есть у любого непустого ограниченного снизу множества) значений функции при $x > a$. Доказываем (пользуясь определением точной нижней грани и определением сходимости $\{x_n\}\to a$), что эта точная нижняя грань и будет искомым пределом функции.

[mihaild]

Anton_Peplov в сообщении #1520027 писал(а):

Интуитивно кажется, что в силу неубывания функции $f$ последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$, за исключением, быть может, конечного числа членов, распадается на конечное число монотонно невозрастающих подпоследовательностей.

Это неправда. Представим, что $f$ строго монотонна - тогда это означало бы, что $x_n$ распадается на конечное число невозрастающих подпоследовательностей. Но тогда все строго возрастающие подпоследовательности $x_n$ равномерно ограничены по длине (т.к. каждая строго возрастающая подпоследовательность содержит максимум по одному элементу из наших невозрастающих подпоследовательностей). Легко построить пример $x_n$, сходящейся к $a$ справа, для которой это не так - добавляем $x_1$, потом добавляем $x_2 < x_3$ между $x_1$ и $a$, потом $x_4 < x_5 < x_6$ между $x_2$ и $a$ и т.д.

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1520027 писал(а):

Попытаемся по определению. Число $b$ называется правосторонним пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для всякой сходящейся к $a$ последовательности аргументов $\{x_n\}$, все элементы которой больше $a$, соответствующая последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ сходится к $b$.

Это тот сравнительно редкий случай, когда определение предела по Гейне существенно менее удобно, чем определение по Коши:
$(\forall\varepsilon>0)\ \exists\delta>0\colon\ (\forall x\in(a;a+\delta))\ f(x)<b+\varepsilon.$
Прелесть в том, что дельта выписывается явно: $a+\delta=\inf\{x\colon\;f(x)\geqslant b+\varepsilon\}.$

А почему здесь невыгодно использовать определение по Гейне -- потому, что в нём последовательности точек не обязательно монотонные, из-за чего приходится делать лишние телодвижения.

[Anton_Peplov]

Распишу всё так, чтобы даже такой тугодум как я понял.

Общее определение: число $b$ называется правосторонним пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если $\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0$ такое, что $\forall x \in (a, a + \delta)$ верно $f(x) \in (b - \varepsilon, b + \varepsilon)$.
Положим $b = \inf \{f(x) \colon x > a\}$. Тогда, если $x > a$, то $f(x) \ge b$ и, значит, $f(x) > b - \varepsilon$. Поэтому достаточно доказать утверждение: $\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0$ такое, что $\forall x \in (a, a + \delta)$ верно $f(x) < b + \varepsilon$.
Это утверждение выполнится автоматически, если положить $\delta=\inf\{x\colon\;f(x)\geqslant b+\varepsilon\} - a$ и доказать, что $\delta > 0$. Докажем, что $\delta > 0$. Поскольку функция неубывающая и $b = \inf \{f(x) \colon x > a\}$, то $\inf\{x\colon\;f(x)\geqslant b+\varepsilon\} > a$. Теорема доказана.

Как я понимаю, аналогично можно доказать, что всякая невозрастающая функция имеет левосторонний предел в каждой точке области определения.

Всем спасибо за помощь.

[ewert]

Вроде бы всё верно.

Anton_Peplov в сообщении #1520213 писал(а):

Как я понимаю, аналогично можно доказать, что всякая невозрастающая функция имеет левосторонний предел в каждой точке области определения.

Можно, но совершенно не нужно. Там четыре варианта утверждения, и любые три из них сводятся к четвёртому заменой $x$ на $-x$ или $f$ на $-f$.

[Anton_Peplov]

Anton_Peplov в сообщении #1520213 писал(а):

Докажем, что $\delta > 0$. Поскольку функция неубывающая и $b = \inf \{f(x) \colon x > a\}$, то $\inf\{x\colon\;f(x)\geqslant b+\varepsilon\} > a$. Теорема доказана.

Кажется, для строгости нужно оговорить в доказательстве случай, когда множество $\{x\colon\;f(x)\geqslant b+\varepsilon\}$ пусто (например, $f(x) \equiv b$). Разумеется, он тривиален, но сказать о нем нужно.

[Anton_Peplov]

Перепишу доказательство более понятным языком и с учётом вышеупомянутого случая (просто из перфекционизма).

Общее определение: число $b$ называется правосторонним пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если $\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0$ такое, что $\forall x \in (a, a + \delta)$ верно $f(x) \in (b - \varepsilon, b + \varepsilon)$.
Положим $b = \inf \{f(x) \colon x > a\}$. Тогда, если $x > a$, то $f(x) \ge b$ и, значит, $f(x) > b - \varepsilon$. Поэтому достаточно доказать утверждение: $\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0$ такое, что $\forall x \in (a, a + \delta)$ верно $f(x) < b + \varepsilon$.

Возьмём произвольное $\varepsilon > 0$. Для этого $\varepsilon$ либо существуют такие $x$, что $f(x)\geqslant b+\varepsilon$, либо нет. Если таких $x$ не существует, то условие, что $\forall x \in (a, a + \delta)$ верно $f(x) < b + \varepsilon$, выполняется для любого $\delta$. Предположим теперь, что существуют $x\colon\;f(x)\geqslant b+\varepsilon$ и покажем, что нужное $\delta > 0$ найдётся и в этом случае.

Воспользуемся тем, что функция $f(x)$ неубывающая. Поскольку $b = \inf \{f(x) \colon x > a\}$, то для всякого $x$ такого, что $f(x) > b$ (в том числе и такого, что $f(x)\geqslant b+\varepsilon$), заведомо $x > a$. Естественно взять в качестве $\delta > 0$ расстояние между $a$ и наименьшим $x$ таким, что $f(x)\geqslant b+\varepsilon$, т.е. $\delta=\inf\{x\colon\;f(x)\geqslant b+\varepsilon\} - a$. Тогда условие, что $\forall x \in (a, a + \delta)$ верно $f(x) < b + \varepsilon$, выполняется по построению. Теорема доказана.

вопрос № 3 закрыт, всем ещё раз спасибо.

[Anton_Peplov]

Вопрос № 4. Предел отношения сложных функций

Рассмотрим функции $f, g \colon \mathbb R \to \mathbb R$. Пусть $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$. Доказать или опровергнуть: конечный предел $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(f(x))}{g(x)}$ существует, если и только если существует конечный предел $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}$.

Чувствую, что вопрос элементарный, но я на нем застрял. Потыкался через определения предела по Коши и по Гейне, не придумал ничего дельного.