Всем доброго времени суток.
Ранее я писал о готовящейся публикации по гипотезе Римана в разделе "Дискуссионные темы (М)", теме "Гипотеза Римана".
В итоге опубликовал статью, правда не на этом ресурсе.
Подчеркну, что не утверждаю, что доказал гипотезу, но я попытался скомпилировать большинство известного материала и сделать некоторые, как мне кажется интересные выводы.
В результате обсуждения статьи у оппонентов возник ряд вопросов.
Постепенно, я дополнял статью, добавлял литературу и сопутствующие доказательства промежуточных шагов.
Но, к сожалению, конструктивного диалога - не состоялось.
Для себя я сделал вывод, что пока не буду сюда закидывать статью целиком, как хотел сделать изначально, так как и верстка занимает много времени, и много материала.
Если читающие на этом форуме не против, я попробую начать с нескольких, как мне кажется интересных моментов, а дальше посмотрим, что из этого получится.
Прежде всего хочу начать с определений (я их даю в своей интерпретации, в литературе такого не нашел)
![$$
\zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}} \frac{1}{(2 i-1)^s}+\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}} \frac{1}{(2 i)^s}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>1
$$ $$
\zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}} \frac{1}{(2 i-1)^s}+\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}} \frac{1}{(2 i)^s}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>1
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/6/0361bfca565082a0e36c28e761aa0e7982.png)
![$$
\eta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}} \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}} \frac{1}{(2 i)^s}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$ $$
\eta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}} \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}} \frac{1}{(2 i)^s}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/8/498c9475bc414bb5d51d2bf1d0c74b9282.png)
Из формулы Эйлера - Маклорена, следует, что при
![$n \to {\infty}$ $n \to {\infty}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/f/eff2788e89211b6b77cd56dcb1c09a8682.png)
![$$
\zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{i^s}-\frac{n^{1-s}}{1-s}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$ $$
\zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{i^s}-\frac{n^{1-s}}{1-s}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/2/0a2afa492b15b306b9f6964ad11499de82.png)
Ссылки на литературу:
1. Note sur les zéros de la fonction
de Riemann, стр. 294
2. Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, стр: 56,269,270
Тогда будет верно
![$$
2^{-s} \zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$ $$
2^{-s} \zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/0/2c028a34a17f62e00a9d8aae2980f45782.png)
Далее запишем
![$$
\zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}+\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{1-s}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$ $$
\zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}+\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{1-s}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/f/8fffd3c9c392d5cc344da393c383d25f82.png)
Или
![$$
\zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{1-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)})+2^{-s} \zeta (s),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$ $$
\zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{1-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)})+2^{-s} \zeta (s),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/8/f3890cffb0666f80c2ae969ff8fa982c82.png)
Или
![$$
\zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)})+2^{-s} \zeta (s),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$ $$
\zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)})+2^{-s} \zeta (s),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/2/1a2dec8fb1109215fc0652befa60fc9b82.png)
Тогда
![$$
\left(1-2^{-s}\right) \zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0\qquad\qquad\qquad (1)
$$ $$
\left(1-2^{-s}\right) \zeta (s)=\lim_{n \to {\infty}}(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}),s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>0\qquad\qquad\qquad (1)
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/1/1c11c04f4a226bb4cc85b39d947d4edf82.png)
Известно, что
![$$
\lim_{n\to \infty }\left((2 n)^{1-s}-(2 n-1)^{1-s}\right)=0,\operatorname{Re}(s)>0
$$ $$
\lim_{n\to \infty }\left((2 n)^{1-s}-(2 n-1)^{1-s}\right)=0,\operatorname{Re}(s)>0
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/3/37333ef72778446b7b04610242e9957c82.png)
Следовательно
![$$
\lim_{n\to \infty }\left(\frac{(2 n)^{1-s}-(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)}\right)=0,\operatorname{Re}(s)>0\qquad\qquad\qquad (2)
$$ $$
\lim_{n\to \infty }\left(\frac{(2 n)^{1-s}-(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)}\right)=0,\operatorname{Re}(s)>0\qquad\qquad\qquad (2)
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/c/e7cdccf6748c115fe9a243adbe33695082.png)
Сложим
(1) и
(2), тогда
![$$
\lim_{n\to \infty } \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}+\frac{(2 n)^{1-s}-(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)}\right)=\left(1-2^{-s}\right) \zeta (s),\operatorname{Re}(s)>0
$$ $$
\lim_{n\to \infty } \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}+\frac{(2 n)^{1-s}-(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)}\right)=\left(1-2^{-s}\right) \zeta (s),\operatorname{Re}(s)>0
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/8/be88f20416ac95e8c5d45fe1b8fda43f82.png)
Или
![$$
\lim_{n\to \infty } \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}\right)=\left(1-2^{-s}\right) \zeta (s),\operatorname{Re}(s)>0
$$ $$
\lim_{n\to \infty } \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}\right)=\left(1-2^{-s}\right) \zeta (s),\operatorname{Re}(s)>0
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/7/397c511c055975aa3a4b5305d7de994482.png)
Тогда
![$$
\left(1-2^{-s}\right) \zeta (s)=\lim_{n\to \infty } \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)}\right),\operatorname{Re}(s)>0
$$ $$
\left(1-2^{-s}\right) \zeta (s)=\lim_{n\to \infty } \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)}\right),\operatorname{Re}(s)>0
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/a/26a399a22505d2f836d6f2e17072ea7a82.png)
И после этого, я делаю вывод о том, что если
![$s$ $s$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f9bad7347b91ceebebd3ad7e6f6f2d182.png)
- нуль дзета-функции, то будет верно, что при
![$n \to {\infty}$ $n \to {\infty}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/f/eff2788e89211b6b77cd56dcb1c09a8682.png)
имеет место
![$$
\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}\to \frac{(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)},\operatorname{Re}(s)>0
$$ $$
\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}\to \frac{(2 n-1)^{1-s}}{2 (1-s)},\operatorname{Re}(s)>0
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/a/3da6712d014e778c6ef76b2bbc15ad0982.png)
И
![$$
\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\to \frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)},\operatorname{Re}(s)>0
$$ $$
\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\to \frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)},\operatorname{Re}(s)>0
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/8/6689299e8d759eceda64cc9ca240a55382.png)
Давайте обсудим верность рассуждений, есть ли у участников замечания?