Шар "запрыгивает" на ступеньку

[EUgeneUS]

Amw в сообщении #1454528 писал(а):

Если кинетическая энергия шарика больше или равна его потенциальной, когда он стоит на ступеньке - он полюбому на неё заскочит.

Возможно, для числовых данных задачи так оно и есть. Но неясно откуда такая уверенность?

(контрпример для другого размера ступеньки)

Если высота ступеньки критичная $H = (1 - 1/\sqrt{2})R$, то шарик при любой скорости будет отскакивать вертикально. А после второго удара его скорость будет горизонтальна, равна и противоположна начальной.
Выберем скорость такую, что кинетическая энергия в точности равна потенциальной при нахождении шарика на ступеньке.
А ступеньку сделаем чуть-чуть ниже.
Тогда шарик после второго удара отскочит в обратную сторону (проекция скорости на горизонтальную ось изменит знак)

[Emergency]

Amw в сообщении #1454460 писал(а):

А вот если убрать из условия задачи "после первого удара", то достаточно, чтобы исходная кинетическая энергия была просто равна потенциальной на ступеньке.

Я подозреваю, что при заданных условиях, задача является симметричной по времени.
Тогда ваше предположение о достаточности равенства исходной кинетической энергии потенциальной, должно привести к тому, что шарик, скатываясь со ступеньки с бесконечно малой скоростью, должен продолжить движение без скачков. Мне это кажется невероятным (но доказать я этого не могу).

[Amw]

slavav в сообщении #1454553 писал(а):

Высота скачков будет возрастать (!) к некоторой предельной высоте.

Амплитуда скачков будет уменьшаться, а координаты x,у нижней точки шара будет приближаться к ребру ступеньки асимптотически и шарик там успокоится.
В чем я ошибаюсь?

-- 14.04.2020, 21:27 --

Emergency в сообщении #1454588 писал(а):

Я подозреваю, что при заданных условиях, задача является симметричной по времени.
Тогда ваше предположение о достаточности равенства исходной кинетической энергии потенциальной, должно привести к тому, что шарик, скатываясь со ступеньки с бесконечно малой скоростью, должен продолжить движение без скачков. Мне это кажется невероятным (но доказать я этого не могу).

При любом, сколь угодно большом времени процесс можно обратить, но только пока шарик не остановился. А остановится он при времени, равном бесконечности. Тогда он "забудет", как сюда попал.

-- 14.04.2020, 21:31 --

EUgeneUS в сообщении #1454564 писал(а):

Возможно, для числовых данных задачи так оно и есть. Но неясно откуда такая уверенность?
(контрпример для другого размера ступеньки)
Если высота ступеньки критичная...

Конечно я имел ввиду ступеньку из конкретной задачи - ее высота должна быть меньше критической.

-- 14.04.2020, 21:38 --

Emergency в сообщении #1454588 писал(а):

...должен продолжить движение без скачков. Мне это кажется невероятным (но доказать я этого не могу).

А если шарик запрыгнул на ступеньку и поскакал дальше, как в официальном решении, то если время обратить, то он ударится о край ступеньки и покатится без скачков.

-- 14.04.2020, 21:53 --

Вот траектория (красным) нижней точки шарика при первом скачке, при его кинетической энергии, равной потенциальной (на ступеньке).
Само-собой, он сразу же подскочил на высоту ступеньки.

[Amw]

Amw в сообщении #1454612 писал(а):

Само-собой, он сразу же подскочил на высоту ступеньки

Нет, ошибся - чуть ниже, потому что горизонтальная составляющая ещё не ноль.

[EUgeneUS]

Amw в сообщении #1454612 писал(а):

Конечно я имел ввиду ступеньку из конкретной задачи - ее высота должна быть меньше критической

Приведен контр пример для ступеньки, высота которой меньше критической.

[EUgeneUS]

Кстати, есть более наглядная (на мой взгляд) переформулировка задачи:

1. На чертеже проводим окружность радиуса $R$ с центром в ступеньке. Это геометрическое место точек, которые занимает центр шарика при всяких разных отскоках шарика от спупеньки.

2. Далее рассматриваем отскоки материальной точки от этой окружности (задача двумерная).

[Amw]

EUgeneUS в сообщении #1454564 писал(а):

Выберем скорость такую, что кинетическая энергия в точности равна потенциальной при нахождении шарика на ступеньке.
А ступеньку сделаем чуть-чуть ниже.
Тогда шарик после второго удара отскочит в обратную сторону (проекция скорости на горизонтальную ось изменит знак)

(Оффтоп)

Вы, видимо позже исправили скрытый текст и я его только что увидел.

Это не очевидно. Тогда надо получить критическое соотношение параметров при котором меняется знак горизонтальной скорости при втором столкновении.

[EUgeneUS]

Amw в сообщении #1454681 писал(а):

Тогда надо получить критическое соотношение параметров при котором меняется знак горизонтальной скорости при втором столкновении.

Об этом и речь. А также во третьем, четвертом и т.д. столкновении

-- 15.04.2020, 11:47 --

Amw в сообщении #1454681 писал(а):

Это не очевидно.

Не очень понятно, что Вам не очевидно...
Это:
а) если при критической высоте ступеньки шарик взлетает вертикально вверх, потом падает вертикально вниз, а потом отлетает горизонтально вбок.
б) то при достаточно малом (но конечном) изменении высоты ступеньки вниз, шарик будет взлетать почти вертикально вверх, потом будет падать почти вертикально вниз, а потом будет отлетать почти горизонтально вбок.
?
Это-то как раз очевидно, ИМХО.

[Amw]

EUgeneUS в сообщении #1454698 писал(а):

Не очень понятно, что Вам не очевидно... а) б)

Пункт а) очевиден. В пункте б) я имел ввиду ступеньку из задачи $\frac{R}{5}$, а не чуть меньше критической.

EUgeneUS в сообщении #1454698 писал(а):

Об этом и речь. А также во третьем, четвертом и т.д. столкновении

Скорей всего Вы правы - для каждого номера столкновения - своя критическая высота ступеньки.

[EUgeneUS]

Amw в сообщении #1454708 писал(а):

В пункте б) я имел ввиду ступеньку из задачи $\frac{R}{5}$, а не чуть меньше критической.

Да, это не очевидно.

EUgeneUS в сообщении #1454564 писал(а):

Возможно, для числовых данных задачи так оно и есть.

[stalvoron]

Уважаемые участники обсуждения .
Подскажите пожалуйста, какой всё таки критерий для составляющих скорости был выбран, как определяющий того, что шар запрыгнет на ступеньку.
Это предлагалось уважаемым Pphantom определить в начале обсуждения. И все двигались - двигались в этом направлении, но потом, как то сразу пришли к выводу о баллистической траектории шара на основании вычисленных проекций скорости.
Как мы получили значения проекций скоростей, как они рассчитывались, я понял. Но не понял - с какого значения ( т.е. граничные условия), они ( значения проекций) обусловят "перепрыжку" ступени, а не просто "прыжок"?
Я понимаю, что составляющие импульса для этого должны как бы поднять шар на высоту ступеньки (как минимум, нижнего обреза шара) и ещё перенести его на длину радиуса шара (как минимум). Но я не смог увидеть этого в "дереве" расчётов.
Может это и очевидно из представленных формул , но я не уразумел.
Был бы признателен за подсказку.

[EUgeneUS]

stalvoron
Шаг 1. Шарик ударяется об ступеньку и отскакивает под каким-то углом к горизонту. Находится этот угол. Из него находятся проекции скорости на горизонтальную и вертикальную оси после отскока.
Шаг 2. Шарик летит по параболе и где-то ударяется или опять об угол ступеньки (не запругнул) или уже об горизонтальную часть ступеньки (запрыгнул). Об горизонтальную часть ступеньки он может удариться только самой нижней точкой.
Шаг 3. Находим параболу, которая
а) проходит через точку, где был центр шара в момент удара. ("начальная точка")
б) удовлетворяет условию из Шага 1 (начальный угол к горизонту в начальной точке).
в) проходит через точку, где будет центр шара в момент удара нижней точкой шара об ступеньку - условие, что шар "запрыгнул".
г) находим начальную скорость, которая обеспечивает такую параболу.
Всё.
Что из этого не понятно?

[Amw]

stalvoron в сообщении #1454735 писал(а):

Но не понял - с какого значения ( т.е. граничные условия), они ( значения проекций) обусловят "перепрыжку" ступени, а не просто "прыжок"?

Просто прыжок на вершину ступени.

profilescit в сообщении #1453865 писал(а):

после удара $v_{x_1} = \frac{7}{25} v$ и $v_{y_1} = \frac{24}{25} v $

slavav в сообщении #1453930 писал(а):

После отскока шар летит:
$x = \frac{7}{25}vt, y = \frac{24}{25}vt - \frac{g}{2}t^2$

Эти два уравнения - суть траектория нижней точки шара. Из первого уравнения находим t, когда эта точка над ступенькой (координата ступеньки $\frac{3}{5}R $) и подставляем это время во вторе ур-ние при $y$ равном высоте ступеньки $\frac{1}{5}R $. Находим искомую скорость $v$.

slavav в сообщении #1453930 писал(а):

$ \frac{225}{182}gR \leqslant v^2$

[stalvoron]

Amw в сообщении #1454772 писал(а):

stalvoron в сообщении #1454735 писал(а):

Но не понял - с какого значения ( т.е. граничные условия), они ( значения проекций) обусловят "перепрыжку" ступени, а не просто "прыжок"?

Просто прыжок на вершину ступени.

profilescit в сообщении #1453865 писал(а):

после удара $v_{x_1} = \frac{7}{25} v$ и $v_{y_1} = \frac{24}{25} v $

slavav в сообщении #1453930 писал(а):

После отскока шар летит:
$x = \frac{7}{25}vt, y = \frac{24}{25}vt - \frac{g}{2}t^2$

Эти два уравнения - суть траектория нижней точки шара. Из первого уравнения находим t, когда эта точка над ступенькой (координата ступеньки $\frac{3}{5}R $) и подставляем это время во вторе ур-ние при $y$ равном высоте ступеньки $\frac{1}{5}R $. Находим искомую скорость $v$.

slavav в сообщении #1453930 писал(а):

$ \frac{225}{182}gR \leqslant v^2$

Спасибо, я понял суть построения рассуждений для расчёта.

[stalvoron]

Уважаемые участники.
Подскажите пожалуйста, правильно ли моё представление , что вышенайденное решение задачи будет справедливо при прочих неизменных условиях для тела любой геометрии (не только шара), в том числе и для не осесимметричного, для которого известно расстояние от поверхности скольжения до центра массы (в описываемом условии это R)?