2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос про наложение и отображение плоскости на себя
Сообщение13.04.2020, 21:39 


21/01/20

10
Всем привет. Изучаю учебник по школьной геометрии 7-9 класс Атанасян и др. Возник вопрос, не могу никак понять один момент. Есть определение: 1) отображения плоскости на себя, 2) движения, 3) наложения. Согласно учебнику, наложение - это отображение плоскости на себя (однако не каждое отображение плоскости на себя является наложением, а только то, которое удовлетворяет аксиомам 7-13 приведённым в приложении в конце учебника). Также, говорится, что всякое наложение является движением. Теперь моя проблема: я построил отображение в котором, как мне кажется выполнены все аксиомы необходимые для того, чтобы утверждать что моё отображение является наложением, хотя с другой стороны в моё отображение не является движением! Подскажите,пожалуйста в чём я неправ. Вот пример: пускай у меня на плоскости есть 2 равных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Теперь я строю отображение в котором точки треугольника $ABC$ отображаются в точки треугольника $A_1B_1C_1$, и наоборот, все точки треугольника $A_1B_1C_1$ отображаются в треугольник $ABC$, а все остальные точки плоскости отображаются сами в себя. Получается, что я каждой точке плоскости сопоставил точку, также любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Следовательно, согласно определению я построил отображение, которое очевидно не является движением. Следовательно, не является наложением. А значит какая-то из аксиом наложения не выполнена, но какая? Вроде всё выполняется. Где я неправ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про наложение и отображение плоскости на себя
Сообщение13.04.2020, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5015
Xo4yZHaTb в сообщении #1454282 писал(а):
Также, говорится, что всякое наложение является движением.

Перечитайте это место ещё раз. Именно так говорится в учебнике? Или, может, наоборот?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про наложение и отображение плоскости на себя
Сообщение13.04.2020, 21:48 


21/01/20

10
Mihr в сообщении #1454284 писал(а):
Xo4yZHaTb в сообщении #1454282 писал(а):
Также, говорится, что всякое наложение является движением.

Перечитайте это место ещё раз. Именно так говорится в учебнике? Или, может, наоборот?

Да написано именно так, а потом написано верно и обратное утверждение, т.е. любое движение является наложением. Т.е. в обе стороны верно утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про наложение и отображение плоскости на себя
Сообщение13.04.2020, 22:00 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Попробуйте доказать, что выполнена аксиома 7 (если совмещаются концы отрезков, то совмещаются и сами отрезки).

(Оффтоп)

Я нашёл книжку и посмотрел, но вообще вам лучше было выписать аксиомы сюда, чтобы людям не надо было искать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про наложение и отображение плоскости на себя
Сообщение13.04.2020, 22:05 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 !  Xo4yZHaTb, во-первых, даже простые обозначения надо оформлять правильно (см.выше, я поправил ваши). Во-вторых, полное отсутствие разбивки на абзацы не способствует пониманию текста.

И, да, аксиомы стоило бы привести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про наложение и отображение плоскости на себя
Сообщение13.04.2020, 22:11 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Mihr
Разница между ними там такая: движение определяется как отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния, а наложение — как отображение плоскости на себя, удовлетворяющее некоторым аксиомам (в которые не входит в явном виде равенство длин отрезков).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про наложение и отображение плоскости на себя
Сообщение13.04.2020, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5015
arseniiv, разве всевозможные наложения плоскости на себя - это не более широкий класс отображений, чем движения? Ну, вот, например, гомотетия (отличная от тождественного преобразования) является наложением, но не является движением, так ведь? Или я неправильно понимаю эту терминологию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про наложение и отображение плоскости на себя
Сообщение13.04.2020, 22:34 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Mihr
Конкретно в том учебнике — нет, там даже «фигура Ф равна фигуре Ф′» (в приложении) считается сокращением от «фигура Ф переходит при наложении в фигуру Ф′». Да, может быть неудобно, если наложение употребляется в другом смысле в других местах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про наложение и отображение плоскости на себя
Сообщение13.04.2020, 22:53 


21/01/20

10
arseniiv в сообщении #1454295 писал(а):
Mihr
Разница между ними там такая: движение определяется как отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния, а наложение — как отображение плоскости на себя, удовлетворяющее некоторым аксиомам (в которые не входит в явном виде равенство длин отрезков).

В учебнике написано вот такое предложение: Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния, т.е. любое наложение является движением плоскости. Теперь возвращаясь к моему примеру. Моё отображение не является движением, если надо могу объяснить, но думаю это очевидно, значит не является наложением. Следовательно какая-то аксиома не выполнена. Какая?)
Вот аксиомы:
1) Если при наложении совмещаются концы 2 отрезков, то совмещаются и сами отрезки
2) На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только 1
3) От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только 1
4) Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h1k1 двумя способами: 1. так, что луч h совместится с лучом h1, а луч k совместится с лучом k1; 2. так, что луч h совместится с лучом k1, а луч k с лучом h1
5) Любая фигура равна самой себе
6) Если фигура Ф равна фигуреФ1, то фигура Ф1 равна фигуре Ф
7) Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре Ф3, то фигура Ф1 равна фигуре Ф3

-- 13.04.2020, 23:00 --

Slav-27 в сообщении #1454291 писал(а):
Попробуйте доказать, что выполнена аксиома 7 (если совмещаются концы отрезков, то совмещаются и сами отрезки).

(Оффтоп)

Я нашёл книжку и посмотрел, но вообще вам лучше было выписать аксиомы сюда, чтобы людям не надо было искать.

Хм... сейчас попробую

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про наложение и отображение плоскости на себя
Сообщение13.04.2020, 23:14 
Заслуженный участник


18/01/15
3231
Mihr в сообщении #1454300 писал(а):
Или я неправильно понимаю эту терминологию?
Да, неправильно. В этом, рискну предположить, опять учебник Колмогорова виноват, где есть термин "отображение на" (сюръективное отображение, по научному). А в Атанасяне "наложения" --- это некая совокупность отображений плоскости на себя, удовлетворяющая определенным аксиомам. Заметим, что в аксиомы не входят в явном виде ни понятия длины отрезка, ни величина угла, ни тот факт, что совокупность наложений образует группу. Все это выводится (но не в учебнике для школы!).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про наложение и отображение плоскости на себя
Сообщение13.04.2020, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5015
arseniiv, спасибо.
Посмотрел учебник. Действительно, Атанасян использует термин "наложение плоскости" по-своему: он понимает под ним какое-то преобразование плоскости, при котором совмещаются (накладываются) фигуры. При этом определения термину "наложение" он не даёт, считает его первичным. Для интуитивного восприятия, как правило, это удобно, но вопросы формального характера здесь действительно возникают.

vpb, и Вам спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про наложение и отображение плоскости на себя
Сообщение13.04.2020, 23:19 
Заслуженный участник


18/01/15
3231
Xo4yZHaTb в сообщении #1454307 писал(а):
Какая?)

Ну возьмите две точки, $D$ внутри треугольника $ABC$, и $E$ вовне его. Верно ли будет первое свойство для отрезка $DE$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про наложение и отображение плоскости на себя
Сообщение13.04.2020, 23:58 


21/01/20

10
Ааа ааа! Я понял! Спасибо всем большое! Восхитительный форум! Убил пол дня на эту фигню(((( можно закрывать тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про наложение и отображение плоскости на себя
Сообщение14.04.2020, 00:26 
Заслуженный участник


18/01/15
3231
Xo4yZHaTb в сообщении #1454326 писал(а):
Ааа ааа! Я понял! Спасибо всем большое! Восхитительный форум!

И Вам не хворать !

(Оффтоп)

... а для того поменьше выходить из дому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про наложение и отображение плоскости на себя
Сообщение15.04.2020, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
Xo4yZHaTb в сообщении #1454307 писал(а):
1) Если при наложении совмещаются концы 2 отрезков, то совмещаются и сами отрезки


Проведём отрезок, проходящий через точку А...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj, Ivan 09


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group