Вопрос про наложение и отображение плоскости на себя

[Xo4yZHaTb]

Всем привет. Изучаю учебник по школьной геометрии 7-9 класс Атанасян и др. Возник вопрос, не могу никак понять один момент. Есть определение: 1) отображения плоскости на себя, 2) движения, 3) наложения. Согласно учебнику, наложение - это отображение плоскости на себя (однако не каждое отображение плоскости на себя является наложением, а только то, которое удовлетворяет аксиомам 7-13 приведённым в приложении в конце учебника). Также, говорится, что всякое наложение является движением. Теперь моя проблема: я построил отображение в котором, как мне кажется выполнены все аксиомы необходимые для того, чтобы утверждать что моё отображение является наложением, хотя с другой стороны в моё отображение не является движением! Подскажите,пожалуйста в чём я неправ. Вот пример: пускай у меня на плоскости есть 2 равных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Теперь я строю отображение в котором точки треугольника $ABC$ отображаются в точки треугольника $A_1B_1C_1$, и наоборот, все точки треугольника $A_1B_1C_1$ отображаются в треугольник $ABC$, а все остальные точки плоскости отображаются сами в себя. Получается, что я каждой точке плоскости сопоставил точку, также любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Следовательно, согласно определению я построил отображение, которое очевидно не является движением. Следовательно, не является наложением. А значит какая-то из аксиом наложения не выполнена, но какая? Вроде всё выполняется. Где я неправ?

[Mihr]

Xo4yZHaTb в сообщении #1454282 писал(а):

Также, говорится, что всякое наложение является движением.

Перечитайте это место ещё раз. Именно так говорится в учебнике? Или, может, наоборот?

[Xo4yZHaTb]

Mihr в сообщении #1454284 писал(а):

Xo4yZHaTb в сообщении #1454282 писал(а):

Также, говорится, что всякое наложение является движением.

Перечитайте это место ещё раз. Именно так говорится в учебнике? Или, может, наоборот?

Да написано именно так, а потом написано верно и обратное утверждение, т.е. любое движение является наложением. Т.е. в обе стороны верно утверждение.

[Slav-27]

Попробуйте доказать, что выполнена аксиома 7 (если совмещаются концы отрезков, то совмещаются и сами отрезки).

(Оффтоп)

Я нашёл книжку и посмотрел, но вообще вам лучше было выписать аксиомы сюда, чтобы людям не надо было искать.

[Pphantom]

Xo4yZHaTb, во-первых, даже простые обозначения надо оформлять правильно (см.выше, я поправил ваши). Во-вторых, полное отсутствие разбивки на абзацы не способствует пониманию текста.

И, да, аксиомы стоило бы привести.

[arseniiv]

Mihr
Разница между ними там такая: движение определяется как отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния, а наложение — как отображение плоскости на себя, удовлетворяющее некоторым аксиомам (в которые не входит в явном виде равенство длин отрезков).

[Mihr]

arseniiv, разве всевозможные наложения плоскости на себя - это не более широкий класс отображений, чем движения? Ну, вот, например, гомотетия (отличная от тождественного преобразования) является наложением, но не является движением, так ведь? Или я неправильно понимаю эту терминологию?

[arseniiv]

Mihr
Конкретно в том учебнике — нет, там даже «фигура Ф равна фигуре Ф′» (в приложении) считается сокращением от «фигура Ф переходит при наложении в фигуру Ф′». Да, может быть неудобно, если наложение употребляется в другом смысле в других местах.

[Xo4yZHaTb]

arseniiv в сообщении #1454295 писал(а):

Mihr
Разница между ними там такая: движение определяется как отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния, а наложение — как отображение плоскости на себя, удовлетворяющее некоторым аксиомам (в которые не входит в явном виде равенство длин отрезков).

В учебнике написано вот такое предложение: Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния, т.е. любое наложение является движением плоскости. Теперь возвращаясь к моему примеру. Моё отображение не является движением, если надо могу объяснить, но думаю это очевидно, значит не является наложением. Следовательно какая-то аксиома не выполнена. Какая?)
Вот аксиомы:
1) Если при наложении совмещаются концы 2 отрезков, то совмещаются и сами отрезки
2) На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только 1
3) От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только 1
4) Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h1k1 двумя способами: 1. так, что луч h совместится с лучом h1, а луч k совместится с лучом k1; 2. так, что луч h совместится с лучом k1, а луч k с лучом h1
5) Любая фигура равна самой себе
6) Если фигура Ф равна фигуреФ1, то фигура Ф1 равна фигуре Ф
7) Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре Ф3, то фигура Ф1 равна фигуре Ф3

-- 13.04.2020, 23:00 --

Slav-27 в сообщении #1454291 писал(а):

Попробуйте доказать, что выполнена аксиома 7 (если совмещаются концы отрезков, то совмещаются и сами отрезки).

(Оффтоп)

Я нашёл книжку и посмотрел, но вообще вам лучше было выписать аксиомы сюда, чтобы людям не надо было искать.

Хм... сейчас попробую

[vpb]

Mihr в сообщении #1454300 писал(а):

Или я неправильно понимаю эту терминологию?

Да, неправильно. В этом, рискну предположить, опять учебник Колмогорова виноват, где есть термин "отображение на" (сюръективное отображение, по научному). А в Атанасяне "наложения" --- это некая совокупность отображений плоскости на себя, удовлетворяющая определенным аксиомам. Заметим, что в аксиомы не входят в явном виде ни понятия длины отрезка, ни величина угла, ни тот факт, что совокупность наложений образует группу. Все это выводится (но не в учебнике для школы!).

[Mihr]

arseniiv, спасибо.
Посмотрел учебник. Действительно, Атанасян использует термин "наложение плоскости" по-своему: он понимает под ним какое-то преобразование плоскости, при котором совмещаются (накладываются) фигуры. При этом определения термину "наложение" он не даёт, считает его первичным. Для интуитивного восприятия, как правило, это удобно, но вопросы формального характера здесь действительно возникают.

vpb, и Вам спасибо.

[vpb]

Xo4yZHaTb в сообщении #1454307 писал(а):

Какая?)

Ну возьмите две точки, $D$ внутри треугольника $ABC$, и $E$ вовне его. Верно ли будет первое свойство для отрезка $DE$ ?

[Xo4yZHaTb]

Ааа ааа! Я понял! Спасибо всем большое! Восхитительный форум! Убил пол дня на эту фигню(((( можно закрывать тему.

[vpb]

Xo4yZHaTb в сообщении #1454326 писал(а):

Ааа ааа! Я понял! Спасибо всем большое! Восхитительный форум!

И Вам не хворать !

(Оффтоп)

... а для того поменьше выходить из дому.

[Евгений Машеров]

Xo4yZHaTb в сообщении #1454307 писал(а):

1) Если при наложении совмещаются концы 2 отрезков, то совмещаются и сами отрезки

Проведём отрезок, проходящий через точку А...