Шар "запрыгивает" на ступеньку

[slavav]

Amw, я выделил жирным:

profilescit в сообщении #1453779 писал(а):

Цитата:

Шар радиуса $R$, скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на ступеньку высотой $H = R/5$. При какой скорости скольжения шар «запрыгнет» на ступеньку после первого удара? Удар шара о ступеньку абсолютно упругий. Трения нет.

[profilescit]

slavav, я так и не совсем понял, почему ответ который получился у меня и у вас не совпадает с ответом из решения? Нужно ведь после первого удара, а он считайте уже был)

[slavav]

profilescit, я отыскал официальное решение. Проверяю.

-- 12.04.2020, 23:29 --

Первая часть официального решения совпадает с нашим творчеством. После отскока шар летит:

$x = \frac{7}{25}vt, y = \frac{24}{25}vt - \frac{g}{2}t^2$

Начало координат поставлено в центр шара в момент удара.

Дальше официальное решение проще чем то что я предложил. Проверяйте:
Рассмотрим положение шара когда его центр над краем ступеньки. Абсцисса ступеньки в наших координатах $x_0 = \frac{3}{5}R$. Чтобы шар не задевал ступеньку в этот момент его высота должна быть $y_0 \geqslant \frac{R}{5}$.

Подставляем $x_0$, получаем:

$x_0 = \frac{7}{25}vt_0$

$\frac{3}{5}R = \frac{7}{25}vt_0$

$t_0 = \frac{15R}{7v}$

подставляем $t_0$:

$y_0 = \frac{24}{25}vt_0 - \frac{g}{2}t_0^2$

$ \frac{R}{5} \leqslant \frac{24}{25}v\frac{15R}{7v} - \frac{g}{2}\left(\frac{15R}{7v}\right)^2$

$ \frac{R}{5} \leqslant \frac{72R}{35} - \frac{225gR^2}{98v^2}$

$ \frac{1}{5} \leqslant \frac{72}{35} - \frac{225gR}{98v^2}$

$ \frac{225gR}{98v^2} \leqslant \frac{72}{35} - \frac{1}{5}$

$ \frac{225gR}{98v^2} \leqslant \frac{65}{35}$

$ \frac{225gR}{98}\frac{35}{65} \leqslant v^2$

$ \frac{225gR}{7\cdot14}\frac{7\cdot5}{13\cdot5} \leqslant v^2$

$ \frac{225gR}{14\cdot13} \leqslant v^2$

$ \frac{225}{182}gR \leqslant v^2$

-- 12.04.2020, 23:31 --

Это уже третье решение. Или мы сделали три ошибки, или ошибка в официальном ответе.

[profilescit]

slavav, вариант ошибки в ответе вполне может быть. Раз уж 3 раза подтвердились наши расчеты, думаю есть смысл объявить проблему решенной)

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1453882 писал(а):

Если нужно попасть на высоту $H$ с фиксированной скоростью $v$ под углом $\alpha$ то координата $x$ приземления будет

Это сразу нет. Угол $\alpha$ в точке приземления будет какой-то другой

-- 13.04.2020, 09:34 --

profilescit в сообщении #1453876 писал(а):

slavav
Движение будет по параболе, описанное уравнением
$y = x \tg{\alpha} - \frac{g x^2}{2 v^2 \cos{\alpha}^2}$
Тогда $v^2 = \frac{g x^2}{2 \cos{\alpha}^2 (x \tg{\alpha} -y)}$
Для $x = \sqrt{R^2-(R-H)^2} = \frac{3}{5}R$ и $y = H = \frac{1}{5}R$ получается
$v^2 = \frac{225}{182} g R$

Вот это решение и ответ совпадает с официальным.
И это не

slavav в сообщении #1453880 писал(а):

profilescit, вы сосчитали скорость которая нужна чтобы подскочить на высоту ступеньки?

Это условие, что точка (центр шара) пройдет через заданную точку.

-- 13.04.2020, 09:36 --

А это какой-то другой "официальный ответ":

profilescit в сообщении #1453882 писал(а):

Вообще, в ответе $v^2 \geqslant \frac{1125}{914} g R$ или $\approx 1.23 g R$ против моих $\approx 1.24 g R$

не тот, который нашел уважаемый slavav

[slavav]

EUgeneUS, profilescit сразу нашёл правильную минимальную скорость. Дальше пошло уже моё непонимание его решения. Отчасти оно было вызвано отсутствием объяснений в виде текста. Теперь уже дело прошлое.

-- 13.04.2020, 10:26 --

Неправильный официальный ответ можно найти тут: Сборник олимпиадных задач по физике. Задача 1.7.

[Amw]

Красным траектория полета нижней точки шарика. После заскока он продолжит скакать по плоскости на высоту ~4 ед.

А вот если убрать из условия задачи "после первого удара", то достаточно, чтобы исходная кинетическая энергия была просто равна потенциальной на ступеньке.

[slavav]

Amw, вы учли изменение горизонтальной скорости при втором и последующих ударах?

[Amw]

slavav, нет, я просто нарисовал ваше решение. Удар всего один и горизонтальная скорость $v_{x_1} = \frac{7}{25} v$ больше не меняется. Шар будет скакать по поверхности ступеньки и двигаться с этой скоростью.
Что касается неограниченного количества ударов - думаю задача вырождается в такой вариант, при котором шар поднимется на ступеньку и остановится. При этом вся исходная кинетическая энергия перейдет в равную ей потенциальную. А куда ей деваться?

[slavav]

Amw в сообщении #1454515 писал(а):

А куда ей деваться?

В случае минимальной скорости он будет подскакивать бесконечно, с каждым ударом продвигаясь немного к окончательному по абсциссе положению над краем ступеньки.

[EUgeneUS]

Amw в сообщении #1454515 писал(а):

думаю задача вырождается в такой вариант, при котором шар поднимется на ступеньку и остановится.

ИМХО, вполне возможен такой вариант, что проекция скорости шарика на горизонтальную ось изменит знак, и шарик, весело стуча копытами, удалится в сторону моря.

[Amw]

EUgeneUS в сообщении #1454526 писал(а):

...проекция скорости шарика на горизонтальную ось изменит знак...

В этом случае мы не выполним условие задачи.
Если кинетическая энергия шарика больше или равна его потенциальной, когда он стоит на ступеньке - он полюбому на неё заскочит.

[slavav]

Amw, я говорил о ситуации когда шар совершит несколько (или бесконечно много) скачков до того как его центр окажется над краем ступеньки.

[Amw]

slavav в сообщении #1454530 писал(а):

...совершит несколько (или бесконечно много) скачков...

Если бесконечно много скачков, то это значит каждый скачок на бесконечно малую величину - значит не отрываясь от точки касания заскользнет на ступеньку и остановится. А если "несколько", то какая-то конечная часть кинетической энергии всё же останется после выхода на ступеньку.

[slavav]

Amw, вы ошибаетесь. Во время скачков полная энергия сохраняется. В случае бесконечного количества скачков будут убывать до нуля расстояния по $x$. Высота скачков будет возрастать (!) к некоторой предельной высоте.