Доказательства в аналитической геометрии

[oleg.k]

У меня есть сомнения по поводу некоторых стандартных доказательств из курса аналитической геометрии. Не в смысле результатов, а в смысле самих рассуждений. Например, рассмотрим операцию сложения векторов. Понятно, что множество свободных векторов - это не просто "стрелочки", а фактормножество по понятному отношению эквивалентности между "стрелочками". Это отношение эквивалентности согласовано с операциями над векторами, поэтому можно производить операции не над самими векторами (которые классы эквивалентности), а над конкретными представителями (которые "стрелочки"). Этот момент мне понятен, далее я не буду отдельно обговаривать, где сами векторы, а где представители из классов эквивалентности.

А вот когда начинается доказательство свойств сложения векторов, у меня возникают вопросы. Введем сначала саму операцию сложения векторов. Суммой $\mathbf{a+b}$ вектора $\mathbf{a}$ и вектора $\mathbf{b}$ будем называть вектор, идущий из начала вектора $\mathbf{a}$ в конец вектора $\mathbf{b}$ при условии, что вектор $\mathbf{b}$ приложен к концу вектора $\mathbf{a}$. Следующим шагом обычно доказывается коммутативность сложения. Приведу скрин из учебника Ильина и Позняка.

Взяли какие-то конкретные вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$. Но ведь доказывается факт $\mathbf{a+b = b+a}$ $[\forall \mathbf{a, b}]$. Вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ могут быть какой угодно длины, направлены под какими угодно углами, они могут быть коллинеарны или неколлинеарны, один из них или оба могут быть нулевыми и тем не менее сложение коммутативно. На картинке же 2 ненулевых неколлинеарных вектора, расположенные под конкретным острым углом. Получается, что я должен верить в справедливость общего случая по картинке, которая иллюстрирует частный случай. Как это понимать?

Я не спорю, что если взять другую пару векторов, то доказательство будет практически дословно повторять это доказательство (если речь идет о ненулевых неколлинеарных векторах). Но вариантов то бесконечно много. Перебрать все не получится. Нужно рассуждать в общем виде.

[Xaositect]

В приведенном тексте доказательство вполне себе общее, работает для любых неколлинеарных векторов (а если мы немного модифицируем школьное понятие "параллелограмм", то и для любых). Используется возможность отложить вектор от точки, возможность построить параллелограмм по двум сторонам, свойство параллелограмма, определения равенства и суммы векторов.
Рисунок это только иллюстрация к тексту, как и в школьной геометрии.

[oleg.k]

Xaositect в сообщении #1453554 писал(а):

возможность построить параллелограмм по двум сторонам

В том то и дело, что эта возможность используется, но не обговаривается явно. По хорошему необходимо доказать, что на любых двух неколлинеарных векторах всегда можно построить параллелограмм и при том только один.

Xaositect в сообщении #1453554 писал(а):

определения равенства и суммы векторов.

В тексте сказано: "Из определения равенства векторов следует, что $\overline{BC} = \overline{OA} = \mathbf{a}$, $\overline{AC} = \overline{OB} = \mathbf{b}$" Я согласен с тем, что $|BC| = |OA|$, т.к. это противоположные стороны в параллелограмме. Но ведь надо доказать, что эти векторы сонаправлены. Т.е. нужно произнести слова наподобие: "параллелограмм - выпуклый четырехугольник, поэтому он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону. Возьмем прямую $BO$. точки $C$ и $A$ лежат по одну сторону от этой прямой, поэтому векторы $\overline{BC}$ и $\overline{OA}$ направлены в одну сторону." Разве не так?

[Xaositect]

oleg.k в сообщении #1453560 писал(а):

В том то и дело, что эта возможность используется, но не обговаривается явно. По хорошему необходимо доказать, что на любых двух неколлинеарных векторах всегда можно построить параллелограмм и при том только один.

Это известно из школьной геометрии. Параллелограмм строится по двум сторонам.

oleg.k в сообщении #1453560 писал(а):

Разве не так?

Так. Только выпуклость параллелограмма лучше не привлекать, а то ее доказывать придется, а это отдельная глубокая яма. Лежат они по одну сторону потому, что противоположные стороны параллелограмма не пересекаются. А не пересекаются они, потому что параллельны.
Я не говорил, что доказательство безупречно (хотя оно вполне на уровне геометрических доказательств в школе, и для нематематиков вполне достаточное). Я говорил, что оно не использует никакую специфику векторов, кроме неколлинеарности (а неколлинеарность используется при построении параллелограмма, у параллелограмма вершины должны не лежать на одной прямой)

[oleg.k]

Xaositect благодарю. С коммутативностью разобрался.

[oleg.k]

С ассоциативностью умножения вектора на числа вообще чудеса. Нужно доказать, что $[\forall \mathbf{a}, \alpha, \beta]$ $\alpha(\beta \mathbf{a}) = (\alpha \beta)\mathbf{a}$. У Ильина и Позняка приведено следующее доказательство:

Я вижу только один способ, которым более менее строго можно доказать этот факт - это перебрать кучу вариантов для знаков $\alpha$ и $\beta$. Есть какое-нибудь более красивое доказательство этого свойства?

[Xaositect]

oleg.k в сообщении #1453687 писал(а):

Я вижу только один способ, которым более менее строго можно доказать этот факт - это перебрать кучу вариантов для знаков $\alpha$ и $\beta$. Есть какое-нибудь более красивое доказательство этого свойства?

Можно отдельно проверить равенство длин и совпадение направлений, но суть та же.

[oleg.k]

Xaositect в сообщении #1453694 писал(а):

Можно отдельно проверить равенство длин и совпадение направлений, но суть та же.

Жаль. Подобных теорем, в которых надо делать перебор кучи вариантов, полным полно. Может быть все же есть какой-нибудь хитрый финт, который позволяет перенести свойства чисел на свойства векторов? Из матлогики там например... Вещественные числа и евклидова геометрия вроде как формализуются достаточно просто.

[Xaositect]

oleg.k в сообщении #1453696 писал(а):

Жаль. Подобных теорем, в которых надо делать перебор кучи вариантов, полным полно. Может быть все же есть какой-нибудь хитрый финт, который позволяет перенести свойства чисел на свойства векторов? Из матлогики там например... Вещественные числа и евклидова геометрия вроде как формализуются достаточно просто.

Разумеется. Вводятся координаты, доказывается, что сложение и умножение на скаляр векторов соответствует сложению и умножению на скаляр наборов координат.

[oleg.k]

Xaositect в сообщении #1453697 писал(а):

Разумеется. Вводятся координаты, доказывается, что сложение и умножение на скаляр векторов соответствует сложению и умножению на скаляр наборов координат.

Допустим, я хочу доказать таким образом коммутативность сложения векторов. Вот есть у меня некоторая плоскость и в ней лежат два вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$. Далее ввожу декартову прямоугольную систему координат. Раскладываю векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ по базисным векторам $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$. Но уже в этом месте нужно знать, что такое линейная комбинация векторов, что любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости и что такое разложение единственно. А для последнего нужна та самая коммутативность сложения векторов. Замкнутый круг получается.

Более того, чтобы установить связь между суммой векторов и суммой координат векторов тоже нужны все свойства сложения векторов. Там же линейные комбинации складываются.

[arseniiv]

oleg.k в сообщении #1453704 писал(а):

Далее ввожу декартову прямоугольную систему координат.

Кстати пока не потребуется скалярное произведение, никаких трудностей не внесёт и косоугольная (аффинная).

oleg.k в сообщении #1453704 писал(а):

Раскладываю векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ по базисным векторам $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$. Но уже в этом месте нужно знать, что такое линейная комбинация векторов, что любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости и что такое разложение единственно.

Не нужно, определите координаты напрямую проецированием параллельно осям. Базисные векторы можно внести потом. Без них никак, если начинать с аксиом линейного пространства (но там и доказывать вышедоказываемое не придётся — оно в аксиомах), а тут у нас конкретное пространство, про которое мы знаем (даже слишком) много.

-- Вс апр 12, 2020 01:43:03 --

arseniiv в сообщении #1453712 писал(а):

Не нужно, определите координаты напрямую проецированием параллельно осям.

Можно и комбинированным способом — определить векторные проекции на оси и эти проекции уже выражать каждую через свой базисный вектор. Плюс: не надо возиться с определением знака проекции-числа на направленную прямую, достаточно просто обычной прямой (или вектора, задающего её).

[oleg.k]

arseniivИзвините, но я ничего не понял

Вот у меня есть плоскость $\pi$ и есть понятие вектора. В этой плоскости есть 2 произвольных вектора: $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$. Есть понятие суммы векторов - вектора, идущего из начала первого в конец второго. Надо доказать, что $\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$.

1. Вводим на плоскости произвольную декартову систему координат.
2. Вводим понятие координат вектора. Координаты вектора - это упорядоченная пара действительных чисел, первая компонента которой равна проекции вектора на ось Ox, вторая - проекции вектора на ось Oy.
3. Доказываем, что координаты равных векторов совпадают.
4. Доказываем, что если координаты двух векторов совпадают, то векторы равны.
5. Доказываем, что если $\mathbf{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\mathbf{b}=\{x_2; y_2\}$ - два произвольных вектора плоскости с известными декартовыми координатами, то координаты суммы этих векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых векторов: $\mathbf{a+b}=\{x_1 + y_1; x_2 +y_2\}$
6. Доказываем коммутативность сложения векторов. Даны 2 вектора $\mathbf{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\mathbf{b}=\{x_2; y_2\}$. Тогда $\mathbf{a+b}=\{x_1 + y_1; x_2 +y_2\}$ и $\mathbf{b+a}=\{y_1 + x_1; y_2 +x_2\}$. Видим, что координаты векторов $\mathbf{a+b}$ и $\mathbf{b+a}$ совпадают, следовательно $\mathbf{a+b} = \mathbf{b+a}$, чтд.


Этот текст из 6 строчек можно считать доказательством коммутативности векторов?

[arseniiv]

Вроде всё расписали, да.

[oleg.k]

arseniiv в сообщении #1453791 писал(а):

Вроде всё расписали, да.

В таком случае зачем тогда все эти танцы с параллелограммами, выпуклостью, коллинеарными/неколлинеарными векторами и тд?

[Pphantom]

oleg.k в сообщении #1453793 писал(а):

В таком случае зачем тогда все эти танцы с параллелограммами, выпуклостью, коллинеарными/неколлинеарными векторами и тд?

В аннотации к этому учебнику написано "Для студентов физических и физико-математических факультетов и факультетов вычислительной математики и кибернетики университетов". Короче говоря, для прикладников, которым понимание способов применения данного аппарата существенно важнее, чем аккуратность и формальная строгость доказательства. С вашими интересами читать такие книги, по-видимому, бессмысленно.