Действие группы на тензорном произведении

[Nickspa]

$dim V=k, dim W=l$. Какое количество орбит действия $GL(V)\times GL(W)$ на $V\otimes W$?

$GL$ действует на $V$ каким-то оператором $A$, на $W$ - оператором $B$. Действие $GL(V)\times GL(W)$ на $V\otimes W$ - это оператор $A\otimes B$.
Правильно понимаю?
$(A\otimes B) (v\otimes w)=A(v)\otimes B(w)=A(\Sigma \alpha_ie_i)\otimes B(\Sigma \beta_jf_j)=\Sigma \alpha_i\beta_j(A(e_i)\otimes B(f_j))$

Посмотрим куда можно отобразить базисные вектора.
$(A\otimes B)(e_i\otimes f_j)=\Sigma a_{ki}b_{lj}(e_k\otimes e_l)$. Не могу понять какова орбита $e_i\otimes f_j$.
Может кто направить? Или здесь совсем по-другому делать?

[vpb]

Надо на ету задачу с другого боку посмотреть. А именно... Вот есть линейное отображение из одного пространства в другое. В каком простейшем виде можно записать его матрицу, если выбирать базисы в том и другом пространстве, как нам будет удобно ? (См. учебник Кострикин-Манин, гл.1, пар.8).

[Slav-27]

А понятен ли случай $l=1$? Иными словами: сколько орбит у действия $GL(V)$ на $V$?

[Nickspa]

Slav-27 в сообщении #1453043 писал(а):

А понятен ли случай $l=1$? Иными словами: сколько орбит у действия $GL(V)$ на $V$?

Если я правильно понимаю, то две: нулевой вектор и все остальные. Или не прав?

[Slav-27]

Nickspa в сообщении #1453107 писал(а):

Если я правильно понимаю, то две: нулевой вектор и все остальные.

Да.

Теперь обратите внимание, что интересующее вас представление изоморфно понятно какому представлению $GL(V)\times GL(W)$ на $V^*\otimes W\simeq \operatorname{Hom}(V,W)$ (линейное отображение $A:V\to W$ переходит в $Y^{-1}AX$, $X\in GL(V), Y\in GL(W)$) и воспользуйтесь советом vpb.

Мы существенно пользуемся тем, что пространств 2. Но это не плохо: аналогичный вопрос про тензорное произведение 3 или более пространств гораздо сложнее.

[Nickspa]

Slav-27 в сообщении #1453116 писал(а):

линейное отображение $A:V\to W$ переходит в $Y^{-1}AX$, $X\in GL(V), Y\in GL(W)$)

У меня получается, что $A$ переходит в $YAX^{-1}$. ($Y\circ A=B\circ X\Rightarrow B=YAX^{-1}$). Где-то ошибаюсь?

У нас ещё не было представлений групп. Как я понял, мне надо рассмотреть действие на $Hom(V,W)$? А дальше использовать, что $V*\approx V$ (пусть и не канонически)?

[arseniiv]

Nickspa в сообщении #1453121 писал(а):

Где-то ошибаюсь?

В принципе можно особо над этим не думать, так как важна обратимость, а $X, X^{-1}, Y, Y^{-1}$ все обратимы. Какие свойства линейных отображений вы помните, которые сохраняются при умножении на произвольный обратимый линейный оператор?

[Nickspa]

Ранг

-- 09.04.2020, 17:00 --

vpb $\to A\in Hom(V,W)$ представляестя матрицей с единицей на диагонали (кол-во = рангу $A$) и нулями в остальных местах. И $A$ может перейти лишь в оператор того же ранга. И количество орбит равно количеству рангов, то есть $dim V$. Так получается?

[arseniiv]

Nickspa в сообщении #1453127 писал(а):

Ранг

Ну вот вы сразу в точку и попали! Остались лишь мелочи.

А в виде $V\otimes W$ и для произведений большего числа множителей $V_1\otimes\ldots\otimes V_n$ рангу соответствует тоже ранг, определяемый как наименьшее число разложимых слагаемых (вида $v_1\otimes\ldots\otimes v_n$, где $v_i\in V_i$), суммой которых представляется элемент.

[Nickspa]

Наверное, вот это

Nickspa в сообщении #1453127 писал(а):

И количество орбит равно количеству рангов, то есть $dim V$

не верно. Количество рангов равно $\min(k,m)$.

arseniiv в сообщении #1453130 писал(а):

наименьшее число разложимых слагаемых (вида $v_1\otimes\ldots\otimes v_n$, где $v_i\in V_i$),

равно количеству базисных векторов $e_i\otimes f_j$ с разными i и j одновременно, то есть также $\min(k,m)$.
Верно это?

[arseniiv]

Там как раз сложно, как ведь и Slav-27 выше сразу написал. Насколько я сам понимаю, точной верхней границы для всех случаев не известно. Известно например что ранги элементов $V_1\otimes\ldots\otimes V_n$ не больше произведения размерностей $V_1,\ldots, V_n$, делённого на наибольшую из них. Для произведения трёх пространств размерностей $n, n, 2$ дают точный наибольший ранг $\lfloor\frac32 n\rfloor$ (что щас попалось в черновике какой-то статьи без ссылок).

[Xaositect]

Nickspa в сообщении #1453208 писал(а):

не верно. Количество рангов равно $\min(k,m)$.

$\min(k,m) + 1$, еще нулевая матрица есть.

-- Пт апр 10, 2020 06:13:24 --

Xaositect в сообщении #1453258 писал(а):

Там как раз сложно, как ведь и Slav-27 выше сразу написал. Насколько я сам понимаю, точной верхней границы для всех случаев не известно.

Ну, начать надо с того, что там орбиты не определяются только рангом, и вообще их бесконечно много, кроме нескольких самых маленьких случаев.

arseniiv в сообщении #1453233 писал(а):

Для произведения трёх пространств размерностей $n, n, 2$ дают точный наибольший ранг $\lfloor\frac32 n\rfloor$ (что щас попалось в черновике какой-то статьи без ссылок).

Это Григорьев и Ja'Ja', у обоих есть статьи про вычисление пары билинейных форм. Но там как раз конечное число орбит, есть классическая теория Кронекера-Вейерштрасса о пучках матриц по этому поводу.