Запутался в задаче о трех туристах и велосипеде

[frostysh]

Условие

Трое туристов, обладающих одним велосипедом, должны прибыть на базу в кратчайший срок (время оценивается по последнему прибывшему). Велосипед может взять лишь двоих, поэтому третьему туристу приходится сначала идти пешком. Велосипедист довозит второго туриста до некоторой точки дороги, откуда тот продолжает движение пешком, и возвращается за третьим. Найти среднюю скорость туристов, если скорость пешехода $v_{1} = 4 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}$, а велосипедиста $v_{2} = 20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}$.

Попытки решения

По геометрическому определению средняя скорость $< \negthickspace v \negthickspace >$ равняется площадь двух прямоугольников на диаграмме $v\left(t\right)$ сложить и поделить на сумму оснований

$$< \negthickspace v \negthickspace > \mkern 4mu = \dfrac{v_{1}t_{1} + v_{2}t_{2}}{t_{1} + t_{2}},$$

запишем же среднюю скорость для экстремального случая, то есть велосипедист взял одного, доехал до базы и вернулся за вторым, которым топал все это время пешком, как бы сделал нормальный человек, хотя конечно велосипедисты поменялись местами ибо одному тащить сначала одного потом другого, слишком. Так вот, в этом случае наши прямоугольники будут $L / t_{1} = 20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}$, где $t_{1}$ — момент времени когда велосипедист приехал на базу с первым пассажиром, а $L$ — соответственно расстояние от точки отправки до базы, и $L' / t_{1} = 4 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}$, где $L' = L -\left(v_{2} + v_{1}\right)t_{2}$, где $t_{2}$ — время которое понадобится велосипедисту от момент отбытия с базы до момента подбора другого пассажира, соответственно заменяя время его выражением через скорости и расстояние

$$\dfrac{L -\left(v_{2} + v_{1}\right)t_{2}}{t_{1}} = v_{1} \mkern 30mu \dfrac{L -\left(v_{2} + v_{1}\right)t_{2}}{\dfrac{L}{v_{2}}} = \dfrac{\left(L -\left(v_{2} + v_{1}\right)t_{2}\right)v_{2}}{L} = v_{1},$$

найдем среднюю скорость

$$< \negthickspace v \negthickspace > \mkern 4mu = \dfrac{\dfrac{\left(L -\left(v_{2} + v_{1}\right)t_{2}\right)v_{2}}{L}\left(t_{1} + t_{2}\right) + v_{2}\left(t_{1} + t_{2} + t_{3}\right)}{t_{1} + t_{2} + t_{3}},$$

где $t_{3}$ — время от подбора второго пассажира до приезда на базу. Это все можно как-то выразить в терминах $L$ и посчитать что-то, но у меня так ничего путнього и не вышло. В общем после этого я одним глазом посмотрел в решение, аккуратно, а там написано что: "самый быстрый метод будет когда все три туриста придут на базу одновременно", не понял смысла сказанного я решил создать тему чтобы детальней разобраться. Заранее спасибо.

[wrest]

frostysh в сообщении #1452899 писал(а):

В общем после этого я одним глазом посмотрел в решение, аккуратно, а там написано что: "самый быстрый метод будет когда все три туриста придут на базу одновременно", не понял смысла сказанного

"Одновременно" означает, что все трое пересекают финишную линию в один и тот же момент времени, а не кто-то раньше, кто-то позже. Смысл этого в том, что все должны двигаться постоянно, никто не должен ждать на финише.

[frostysh]

wrest

Так мы считаем среднюю скорость по самому заднему, какая нам разница с какой скоростью будет двигаться первый?

[wrest]

frostysh
Disclaimer. В ваших темах я не понимаю большую часть текста который вы пишете, поэтому отвечаю только на те вопросы, которые мне понятны. Ваш последний вопрос мне непонятен.

Совет. Посчитайте конкретно. Возьмите например путь длиной 10 км, и посчитайте как и что.

[frostysh]

wrest

Посчитаем среднюю скорость для максимального случая при $L = 10 \mkern 4mu \texttt{км}$

$$< \negthickspace v \negthickspace > \mkern 4mu = \dfrac{\dfrac{\left(10 \mkern 4mu \texttt{км} -\left(20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч} + 4 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}\right)\dfrac{1}{3} \mkern 4mu \texttt{ч} \right)20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}}{10 \mkern 4mu \texttt{км}}\left(\dfrac{1}{2} \mkern 4mu \texttt{ч} + \dfrac{1}{3} \mkern 4mu \texttt{ч}\right) + 20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}\left(\dfrac{1}{2} \mkern 4mu \texttt{ч} + \dfrac{1}{3} \mkern 4mu \texttt{ч} + \dfrac{13}{20} \mkern 4mu \texttt{ч}\right)}{\dfrac{1}{2} \mkern 4mu \texttt{ч} + \dfrac{1}{3} \mkern 4mu \texttt{ч} + \dfrac{13}{20} \mkern 4mu \texttt{ч}} \approx 1.5 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч},$$

что-то маловато получается.

[slavav]

Какая-то сложная формула для средней скорости. Среднюю скорость можно вычислить проще, по расстоянию и времени в пути.

[frostysh]

slavav

Ну я представляю скорости у виде высоты прямоугольников на диаграмме $v\left(t\right)$, да, можно и взять $s\left(t\right)$ и посмотреть наклон

$$< \negthickspace v \negthickspace > \mkern 4mu \approx \dfrac{10 \mkern 4mu \texttt{км}}{1.5 \mkern 4mu \texttt{ч}} \approx 6.7 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч},$$

значит моя формула не правильная. Надо спать...

[provincialka]

frostysh в сообщении #1452912 писал(а):

wrest
Так мы считаем среднюю скорость по самому заднему, какая нам разница с какой скоростью будет двигаться первый?

А чего он отдыхает? Мог бы распределить усилия так, чтобы в это время идти/ехать/везти кого-то.

И что значит "считаем среднюю скорость по самому заднему"? Мы оптимизируем перевозки по "заднему".

Вообще это математическая задача, ИМХО.

[waxtep]

Расчетная часть, на мой взгляд, становится особенно простой в системе отсчета, связанной с пешеходами: в ней они (сами по себе, вне багажника велосипеда) стоят как столбы, велосипедист мечется туда-сюда, а база неумолимо надвигается.

Что касается основной идеи: время последнего прихода минимально, когда все трое прибывают на базу одновременно, можете попробовать ее доказать? До осознания этого к расчетам не очень целесообразно приступать

[Amw]

frostysh в сообщении #1452899 писал(а):

Найти среднюю скорость туристов...

Средняя скорость не зависит от расстояния, которое преодолели туристы, встретившись в одной точке, поэтому задачу можно решить "прямолинейно":
1. Находим время $\tau_1$ за которое велосипедист отвез первого туриста на произвольное расстояние - (примем это расстояние за единицу или обозначим буквой, которая при вычислении скорости сократится).
2. Находим время $\tau_2$ через которое велосипедист вернулся ко второму туристу.

(Оффтоп)

(Заметим, что пока велосипедист ехал обратно, расстояние между пешими туристами не менялось)

waxtep в сообщении #1452986 писал(а):

(сами по себе, вне багажника велосипеда) стоят как столбы

3. Теперь находим время $\tau_3$, через которое велосипедист со вторым туристом догнал первого.
Дальше всё прозрачно.

[frostysh]

Сегодня пол дня над этой задачей думал пока работал во дворе, ниче не понятно. Сложная вообще задача!

provincialka

Конечно оптимизация по последнему, то я просто не так напечатал, но думал про именно оптимизацию. Смысл в том что чем больше подвозок тем быстрее последний доберется, но тем меньше времени на одну подвозку со скоростью велосипеда. Может это экспонента какая-то?

$$A = \left(1 + \dfrac{< \negthickspace v \negthickspace >}{n}\right)^{n}$$

Где $n$ — количество подвозок.

waxtep

Хорошо, допустим у нас есть два покоящееся объекта и два одинаковых расстояния. Есть также две скорости с которыми могут двигаться эти объекты, причем когда один двигается со скоростью $v_{1} = 4 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}$ то второй со скоростью $v_{2} = 20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}$, и наоборот. Поскольку в решении я одним глазом видел какой-то рисунок, нарисую сам что-то.



То есть времена когда велосипедист едет сам между пассажирами мы не всчитываем? Тогда надо понять как при такой переключалке скорости придти на базу в самое меньшее время, причем расстояние в конце между туристами должно быть нуль! Это и будет условия прихода на базу.самого последнего туриста.

$$< \negthickspace v \negthickspace > \mkern 4mu = 2\dfrac{L}{t}$$

Но как подобрать наименьшее время. Интуитивно понятно что скорости надо распределять пополам, то есть

$$< \negthickspace v \negthickspace > \mkern 4mu = \dfrac{20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч} + 4 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}}{2} = 12 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}.$$

Но как это доказать...

Amw

Пока печатал, Вы ответили, мне надо это все обдумать. Вообще ваш подход кажется сложноватым.

[Amw]

frostysh в сообщении #1453122 писал(а):

Смысл в том что чем больше подвозок тем быстрее последний доберется

Это неправильно.

[wrest]

frostysh
Сделайте как сказал Amw тут post1453115.html#p1453115
Просто посчитайте.

frostysh в сообщении #1453122 писал(а):

Вообще ваш подход кажется сложноватым.

Мне кажется вы за формулами упускаете что вообще происходит. Вам надо представить, мысленно, как они втроем двигаются.
Вот они на старте, Петя, Вася и Саша, в одном месте в один момент времени. Петя и Вася поехали на велике вперед и отъехали от старта на километр. Теперь Петя высаживает Васю, и Петя едет на велике назад, а Вася начинает идти вперед. Пока Петя ехал с Васей вперед, Саша шел вперед пешком. Пока Петя возвращается за Сашей, Саша продолжает идти вперед, затем Петя и Саша где-то встречаются, Саша садится на велик к Пете и они вдвоем на одном велике догоняют Васю. Вопрос -- где и когда Саша и Петя догонят Васю (все трое встретятся).

[Amw]

А вообще графически легко решается...

[frostysh]

Amw, wrest

Я бы хотел качественно сначала, как участник форума waxtep печатал, понять почему именно при одновременном прибытии максимальная средняя скорость. Для этого я перерисую свой рисунок, по аналогии с задачей про инженера да загородный завод.



Можно в принципе понять что у нас будет в любом случае прямоугольный равнобедренный треугольник для велосипеда, и как-то замостить им путь к базе, при этом посмотреть какая будет пунктирная линия, уклон этой линии и есть средняя скорость. И кстати я уже считал то что Вы предлагаете в первом посте, ну не важно, еще раз могу. Итак у нас есть расстояние $L$ от старта к базе. Допустим самокатка сначала берет одного пассажира, едет к базе, и возвращается назад за вторым. Время за которое велосипедист отвез первого пассажира на некое расстояние $L$ будет $t_{1} = \dfrac{L}{20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}}$. Теперь найдем время за которое велосипедист вернулся ко второму, для этого разделим расстояние на сумму скоростей, расстояние между ними будет $L$ отнять то расстояние на которое пройдет пешеход за время, которое потратит велосипедист на доставку пассажира к базе

$$t_{2} = t_{1} + \dfrac{L - 4 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч} \dfrac{L}{20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}}}{24 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}} = \dfrac{L}{20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}} + \dfrac{L - \dfrac{L}{5}}{24 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}} = \dfrac{\dfrac{4}{5}L}{24 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}} + \dfrac{L}{20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}},$$

итак осталось только время через которое велосипедист догонит первого который на базе, это у нас будет расстояние от старта до базы минус от старта места встречи второго пассажира и велосипеда поделить на скорость велосипеда, а именно

$$t_{3} = t_{2} +\dfrac{L - 4 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч} \cdot t_{2}}{20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}} = \left(\dfrac{\dfrac{4}{5}L}{24 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}} + \dfrac{L}{20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}}\right) + \dfrac{L - 4 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч} \cdot \left(\dfrac{\dfrac{4}{5}L}{24 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}} + \dfrac{L}{20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}}\right)}{20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}} =$$

$$= \dfrac{\dfrac{4}{5}L}{24 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}} + \dfrac{L}{20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}} + \dfrac{L - \dfrac{2}{15}L - \dfrac{1}{5}L}{20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}} = \dfrac{\dfrac{4}{5}L}{24 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}} + \dfrac{\dfrac{1}{3}L}{4 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}} = \dfrac{\dfrac{7}{5}L}{12 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}}.$$

Нашел все три моменты времени, понятней что-то не стало... Кстати примечательно что последний момент времени при отвозе сразу на базу, ровняется семь пятых расстояния до базы поделить на среднее арифметическое скоростей.