Запутался в задаче о трех туристах и велосипеде

[wrest]

frostysh в сообщении #1453198 писал(а):

Я бы хотел качественно сначала, как участник форума waxtep печатал, понять

Угу, "мы пойдем своим путём". Результат:

frostysh в сообщении #1453198 писал(а):

понятней что-то не стало...

[frostysh]

wrest

Но я же посчитал все моменты времени что мне предлагали в предыдущем сообщении. Не понял к чему Вы. Теперь можно посчитать среднюю скорость для второго пешехода, это будет

$$< \negthickspace v \negthickspace > \mkern 4mu = \dfrac{4 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч} \cdot t_{2} + 20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч} \cdot \left(t_{3} - t_{2}\right)}{t_{3}} = \dfrac{4 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч} \cdot \left(\dfrac{\dfrac{4}{5}L}{24 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}} + \dfrac{L}{20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}}\right) + 20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{3}L}{10 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}}}{\dfrac{\dfrac{7}{5}L}{12 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}}},$$

сразу видим что расстояние сокращается, что кстати странно, непонятно и не объясняет почему должны прибыть все вместе чтобы было побыстрей, но все же

$$< \negthickspace v \negthickspace > \mkern 4mu = \dfrac{\left(\dfrac{2}{15} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{3}\right) \cdot 60 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}}{7} \approx 8.6 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}.$$

[Утундрий]

Пара замечаний, которые ТС привычно проигнорирует:

1. Для задачи существенно только отношение скоростей (а именно, в $5$ раз).
2. Выше уже нарисовали решение в виде "ромбика".

[Amw]

frostysh в сообщении #1453198 писал(а):

...осталось только время через которое велосипедист догонит первого который на базе...

А первый он что, стоит и ждет? Опять неправильно... Значит и t3 вычислено неправильно.

frostysh в сообщении #1453207 писал(а):

...непонятно и не объясняет почему должны прибыть все вместе чтобы было побыстрей

Потому, что если первый не будет стоять, а продолжит движение и пройдет некоторый отрезок до момента, когда велосипедист его догонит, то вся группа пройдет этот отрезок со скоростью велосипедиста, что явно повысит общую среднюю скорость.

[slavav]

frostysh, понимаете ли вы почему в самом быстром варианте все три туриста должны стартовать одновременно?

[frostysh]

Час ночи... Мозги не работают совсем, людям что постоянно занимаются интеллектуальной деятельностью, как мне например, надо выспаться, никак не настрою график.

Утундрий

Я не игнорирую замечаний. Да, начинаю понимать что при замкнутой траектории на диаграмме (ромбик или еще что-то) нужно только отношения скоростей, но я не понимаю почему. Ромбик то я нарисовал, сначала была "бабочка" (я разнес точку старта, хоть это и не существенно), но подумав нарисовал ромбик, но его надо еще замостить прямоугольными равнобедренными треугольниками чтобы понять когда длинная диагональ (пунктирная линия) будет иметь наибольший уклон. По аналогии из инженером и загородным заводом.

Amw

Ну так естественно я выбрал расстояние $L$ как расстояние от точки старта до туристической базы про что и напечатал сразу в сообщении, куда первому идти если он на базе уже? Возвращаться назад? Второе предложение не понял, но думаю завтра разберусь, или сегодня ночью.

slavav

Нет, не понимаю, разбираюсь! Они ведь и так стартуют одновременно.

[slavav]

frostysh, может быть вам проще будет решить другую задачу (она называется двойственной и тесно связана с исходной). Три туриста с велосипедом стартуют из одной точки в один и тот-же момент времени. Как далеко они уедут и уйдут от старта за один час? Расстояние считается по самому "близкому" к старту туристу.

[frostysh]

slavav

Хорошо! Используем вышеупомянутые не раз ромбики на диаграмме $s\left(t\right)$, для начала подберем одного пассажира и запустим велосипед, второй в это время топает пешком, пусть так будет продолжатся час, тогда средняя скорость $< \negthickspace v \negthickspace > \mkern 4 mu = s / t$, (уклон штрих-пунктир на рисуночке), будет $4 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}$ и это скорость пешехода.



Далее предположим что в конце часа велосипедист с пассажиром, едущий со скоростью $20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}$ встретятся на одном и том-же расстоянии от стартовой точки, для этого нужно подобрать сначала одного пассажира, доехать до некой точки, а потом вернутся за тем что топает высадив первого, который пойдет пешком, причем дойдет в конце часа как-раз туда куда доедет велик с пассажиром.
Вопрос: откудова мы знаем что именно в этом случае уклон штрих-пунктирной линии, или $< \negthickspace v \negthickspace > \mkern 4 mu \approx 12 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}$ будет максимальным, вот этого что-то я вообразить не могу, а это ведь ключевой момент в этой, походу олимпиадной задачи.

[wrest]

frostysh в сообщении #1453346 писал(а):

Вопрос: откудова мы знаем что именно в этом случае уклон штрих-пунктирной линии, или $< \negthickspace v \negthickspace > \mkern 4 mu \approx 12 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}$ будет максимальным, вот этого что-то я вообразить не могу, а это ведь ключевой момент в этой, походу олимпиадной задачи.

Сначала посчитайте хоть как нибудь и напишите ясно, что вы делали. Без всяких умолчаний и пропуска очеидностей. Ну типа как сдаёте ваше решение в комиссию на проверку.
Затем поменяйте стратегию так, что они все трое не встречаются в конце, а кто-то ждет на финише отстающего (отстающих) -- убедитесь, что средняя скорость окажется меньше.
Затем поменяйте стратегию так, что они не стартуют одновременно, а например едут только на велосипеде, сначала двое доехжают до финиша а третий ждет на старте и никуда не идёт, затем велик за ним возвращается и довозит до финиша -- убедитесь, что средняя скорость будет меньше.
Может, это натолкнёт вас на соображение как им двигаться оптимально, и почему.

[Amw]

slavav в сообщении #1453300 писал(а):

Как далеко они уедут и уйдут от старта за один час?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо знать максимальную среднюю скорость, т.е. ответ на основную задачу.

frostysh в сообщении #1453346 писал(а):

Далее предположим что в конце часа велосипедист с пассажиром, едущий со скоростью $20 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}$ встретятся на одном и том-же расстоянии от стартовой точки

У Вас они всретились через час, для этого нужно знать момент высадки первого пешехода? Как Вы его нашли, подгонкой на графике? Это не решение.
Вам же сказали, что средняя скорость не зависит от длины пути. Да длина пути в задаче и не спрашивается.
Максимальная средняя скорость очевидно будет тогда, когда ни один участник движения нигде не стоит - ни на старте, ни на финише. Т.е. все ресурсы всех туристов используются полностью. Попробуйте-ка еще раз...

[Amw]

frostysh в сообщении #1453346 писал(а):

$< \negthickspace v \negthickspace > \mkern 4 mu \approx 12 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}$

Ну вот давайте ещё ответ будем угадывать. Даже из Вашего чертежа видно, что правильный ответ 10 км/час - подгоняйте сюда.

[frostysh]

Тякс, пока был сегодня за двором днем, порисовал немного в тетради и подумал, а теперь, перерисовал это все на компьютере когда в хату. Получилось следующее что задача имеет жестки ограничения, например:

— расчет по последнему прибывшему на базу это обязательное граничное условие встречи всех троих в одно время на одном расстоянии от старта что равняется расстоянию до базы;

— вот это "Велосипедист довозит второго туриста до некоторой точки дороги, откуда тот продолжает движение пешком, и возвращается за третьим.", означает что обазятельно будет точка где все три встретятся, и обязательно велосипедист одного заберет, то есть велосипед не может высадить пассажира где попало, это существенно думаю тоже.

Итак, держа в голове эти условия у нас сразу вырисовывается интересная картинка, диаграмма $s\left(t\right)$, какие полезные диаграммы однако! Вышеупомянутая диаграмма этого, эдакого движения будет состоять из циклов, каждый цикл это пять стрелочек: встреча всех троих в одном месте в одно время, далее велосипедист повез одного а второй потопал пешком, дальше велосипед высаживает где нибудь пассажира и едет за вторым, подбирает его — а затем едет в место встречи всех троих со своим пассажиром, и цикл повторяется. Это на рисуночке будет параллелограммик с центральной меньшей диагональю в виде стрелочки.



Допустим сначала я беру три таких произвольных цикла (вспоминаем граничное условие номер один), и довожу ими всех до базы. Потом беру один цикл (а почему бы и нет), и мы видем что длинные диагонали всех троих маленьких и одного большого параллелограмма есть параллельные. То есть средние скорости будут одинаковы при любом количестве (кроме бесконечного, которое количеством назвать нельзя) циклов! А все потому что угол между стрелочками будет зависеть только от скоростей, ну то есть скорость определяет тангенс угла, в результате все параллелограммы подобны, более того, и стороны параллельны так как движение непрерывное и один идет сразу за другим. И диагонали у всех будут параллельны, соответственно будут один единственный наклон относительно оси времени $t$, поэтому единственно возможная, и оно же максимальная средняя скорость будет наклон большей диагонали любого из параллелограммов.
Но как же посчитать этот наклон имея при себе только наклоны двух сторон параллелограмма? Ответ очевиден — повернуть систему нашу систему координат так чтобы ось времени совпала с пешеходом, то есть перейти в систему отсчета пешехода! Абсолютно гениально! О таком переходе мне вроде кстати говорили waxtep вроде с самого начала. Итак вспоминая все граничные условия и рисунок выше...



Пусть момент времени $t$ это момент встречи всех троих на базе после одного цикла, зачем нам усложнять если много циклов дадут тот же самый уклон, оно же средняя скорость, $t_{1}$ — это момент времени когда велосипед высадил первого пассажира и поехал за вторым, при этом он отдалился от места старта на некоторое расстояние $\ell$, надо было пометить на рисунке, ну нехай, как говорил один старый преподаватель практики по физике — к лешему! Система отсчета что связана со вторым пешеходом пока он не был подобран велосипедом это $s'\left(t'\right)$, также вспоминаем что для любого момента времени $t = t'$ для системы отсчета связанной например с базой — $s\left(t\right)$, слава богам не теория относительности! Сразу видим что расстояние $\ell$ от нуля будет такое же как расстояние до базы в момент встречи всех троих в штрихованной системе. То есть начинаем понимать почему оно сократится! Запишем первый момент времени

$$t_{1}' = \dfrac{\ell}{16 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}},$$

естественно скорость велосипеда в системе отсчета пешехода будет меньше нежели в системе отсчета базы, и сразу же, не отходя от кассы, запишем и второй момент времени

$$t_{2}' = t_{1}' + \dfrac{\ell}{16 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}} = 2t_{1}',$$

и таки да, третий момент времени будет найден аналогичным образом

$$t = t_{1}' + t_{2}' + \dfrac{\ell}{16 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}} = 3t_{1}',$$

то есть на паралеллограмик на самом деле ромбик! Не смотря на то что у меня нарисовано, правильно печатали Утундрий, и не правильно в тоже время, в том смысле что я не игнорирую замечания, просто иногда недопонимаю... Действительно, в ромбике дело! Запишем же наконец среднюю скорость по формуле какую я почему-то не взял во внимание но мне напомнили slavav

$$< \negthickspace v' \negthickspace > \mkern 4mu = \dfrac{\ell}{3\dfrac{\ell}{16 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}}} = \dfrac{16}{3}\mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}.$$

А теперь попробуем как-то перевести эту скорость в систему отсчета базы, просто додадим к этой скорости, скорость пешехода

$$< \negthickspace v \negthickspace > \mkern 4mu = \mkern 4mu < \negthickspace v' \negthickspace > + \mkern 4mu 4 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч} \approx 9.3 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}.$$

Хух! Примерно понятно! И месяца не прошло... Капец у меня темпы.

wrest

Где у меня что конкретно неправильно посчитано в последних сообщениях с расчетами на предыдущей странице? Там все моменты времени и все величины озвучены. Почему эта скорость больше чем та, при которой сперва довозит велосипедист до базы одного а потом возвращается за вторым?



Потому что во случае подвоза прямо на базу велосипед отдалится дальше (на максимально возможное с соблюдением граничных условий) расстояние от второго пешехода, а при подвозе в точку откуда если высадить пешехода он уже потопает на базу без помощи, велосипед будет ехать прямиком на базу пока в первом случае он бы ехал только за вторым.

Amw

Там $12.5 \mkern 4mu \texttt{км} / \texttt{ч}$ примерно с рисунка, а не десять.

[Утундрий]

(Оффтоп)

В ромбике, оказывается, сила. А вовсе не в деньгах, правде или ньютонах.

[slavav]

frostysh, направление верное. В арифметике беда.
Давайте так. Два туриста на велосипеде едут час. Затем пешеход идёт дальше. Велосипедист возвращается за третьим.
Когда встретятся велосипедист и третий? В какой точке?
Велосипедист подбирает третьего и они догоняют второго.
Когда они его догонят? В какой точке?
Какая будет средняя скорость?

Я прошу вас дать ответы на все пять вопросов с обоснованием.

[Утундрий]

На всякий случай добавлю, что вопрос - это предложение, заканчивающееся значком "$\text{?}$". Таких предложений в посте slavav ровно пять. Для начала найдите и выпишите их все. Можно даже их пронумеровать. Нумеруют обычно вот такими закорючками: $1,~2,~3,~4,~5$, хотя это на любителя.