Бесконечно вложенные радикалы

[Munin]

Otta в сообщении #1452608 писал(а):

В каком месте неравносильный переход, допускающий упущение решений?

Ох, тут не неравносильный переход, тут заковыристее...

Otta в сообщении #1452605 писал(а):

Давайте рассмотрим при неотрицательных $x$ функцию $f(x)=x^2$... Если формально: многоточия, вернее, только последнее многоточие в цепочке равенств, понимается как предельный переход в стационарной последовательности, в $n$-м члене которой присутствует $n$ радикалов:


$$a_n=x\underbrace{\sqrt{x\ldots\sqrt{x\sqrt{f(x)}}}}_{n\text{ корней}},$$

а соответствующее значение (бесконечно вложенный радикал) -- как предел этой стационарной последовательности, который, очевидно, существует.

Начинаем разбираться. Перед нами функция $f(x),$ то есть математический объект, не задаваемый формулой, а каким-то образом уже раз и навсегда заданный. Кроме того, перед нами последовательность $a_n.$ Это последовательность функций или формул?

I. Допустим, по-простому, что $a_n$ - последовательность функций $a_n(x).$ Тогда каждую из них можно рассматривать независимо от формы записи, а предельный переход понимается в смысле предела числовой последовательности (параметризованной $x$). А значит, мы туда спокойно подставляем $f(x)=x^2,$ и получаем:

$$a_n=x\sqrt{x\ldots\sqrt{x\sqrt{x^2}}}=x\sqrt{x\ldots\sqrt{x\cdot x}}=\ldots=x^2.$$

В точности. Никаких "бесконечно вложенных радикалов" у нас в пределе нет. А $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a_\infty,$ разумеется, равен $x^2,$ и $a_\infty(10)=100.$ Решили задачу, но не ту.

II. Допустим, что $a_n$ - последовательность формул. Тут мы ступаем на зыбкую почву, поскольку соответствующих определений пределов, бесконечных формул и т. п. в учебниках нет. Можно рассуждать по аналогии, но не опираться на стандартный аппарат и его доказанные факты.
1) Вопрос первый, имеем ли мы право подставить в формулу $a_n=x\sqrt{x\ldots_{(n)}\sqrt{x\sqrt{f(x)}}}$ вместо символа $f(x)$ символ $x^2$? Это преобразование формулы. Если мы себе такое позволим, то можно и иначе "упрощать" формулу, доведя её до вида $a_n=x^{2-1/2^n}f^{1/2^n}(x).$ Но от такой последовательности формул не так просто взять "предел", а если его и взять, то он не будет желаемым "бесконечно вложенным радикалом".
2) Допустим, что мы не преобразовываем формулы, а предел берём как-то в смысле предела синтаксического дерева формулы, получая бесконечное дерево. (Если вы хотите предложить другое понимание предела последовательности формул, тут самое место. Это можно обсуждать, но поскольку стандартной теории нет, все варианты будут всего лишь вариантами.) Тогда:
2.1) Не факт, что какие-то свойства формул сохраняются в предельном переходе к бесконечной формуле. Прежде всего, любую конечную формулу можно "вычислить" до числа или функции, а вот с бесконечной формулой это не есть заведомо так. Кроме того, у конечной формулы при "вычислении" получается одно значение, а для бесконечной формулы мы не имеем таких свойств - откуда бы? Мы же "матанализ для бесконечных формул" не строили.
2.2) Если мы захотим доопределить значение формулы для бесконечных формул, получаемых предельным переходом, по предельному переходу для значений, то возникает следующая трудность. Мы прекрасно знаем даже для числовых последовательностей, что может существовать несколько последовательностей, дающих один и тот же предел. Аналогичного свойства можно ожидать для любых конструкций с пределами. И тут оказывается, что искомый предел дают многие последовательности формул, в том числе,

$$b_n=x\underbrace{\sqrt{x\ldots\sqrt{x\sqrt{x^2}}}}_{n\text{ корней}},\qquad c_n=x\underbrace{\sqrt{x\ldots\sqrt{x\sqrt{0}}}}_{n\text{ корней}},\qquad d_n=x\underbrace{\sqrt{x\ldots\sqrt{x\sqrt{\sin^{2^n}x}}}}_{n\text{ корней}},$$

и так далее. Однако вычисленные значения для них будут разные, и они могут стремиться к разным пределам (или не иметь предела вообще).
Таким образом, предел последовательности формул "бесконечно вложенный радикал", наверное, существует, как бесконечная формула, а вот связать с ним какое-то значение не представляется возможным.
2.3) И операция "подставить $x=10$" тоже выглядит не слишком-то простой и очевидной в случае бесконечных формул. Это будет не подстановка значения в функцию, а замена подформулы $x$ на подформулу $10,$ скажем, по всему синтаксическому дереву. После этого (допустим, мы сделали бесконечное количество замен), нам надо убедиться, что предельный переход выдерживает такую замену. Не то, чтобы я сомневался в данном конкретном пункте для конкретного примера, но место тоже требующее доказательств.

После всего этого - да, "мы получаем нашу задачу". Задачу, но увы, отнюдь не решение.

Надеюсь на понимание.

-- 08.04.2020 13:51:20 --

nnosipov в сообщении #1452619 писал(а):

Так что, на мой взгляд, такое толкование бесконечных радикалов вполне можно считать традиционным.

Спасибо, убедительно. Пойя и Квант - это, безусловно, общераспространённые источники. Я согласен, что они выражают математическую традицию. (А если бы к ним были известные возражения, это также было бы широко известно.)

-- 08.04.2020 14:00:14 --

Otta в сообщении #1452665 писал(а):

Ноль - магическое число :)

Ноль - ни разу не магическое число. Просто он в данной задаче является одним из двух корней квадратного уравнения. Но рассмотрите, скажем, такую задачу: $\sqrt{-2+3\sqrt{-2+3\sqrt{-2+3\sqrt{\ldots}}}}=?$ И какой из двух корней вы тут назовёте магическим?

-- 08.04.2020 14:10:25 --

mihaild в сообщении #1452675 писал(а):

Я не очень понимаю, почему сторонники подхода с неподвижной точкой проигнорировали мой аргумент про цепные дроби.

Я просто плохо знаю цепные дроби. Я допускаю, что там приняты какие-то дополнительные соглашения. Зато я знаю, что это общепринятая теория, так что спорить с ней не хочу и не вижу смысла.

mihaild в сообщении #1452702 писал(а):

Насколько я понимаю подход со стационарными точками, в нем считается что это не просто последовательность радикалов, а итерации одной конкретной функции $f(x) = 10\cdot \sqrt{x}$ (и если бы под радикалами стояли разные числа - он бы был неприменим), запись имеет вид $f \circ f \circ f \circ \ldots$ (актуально бесконечная формула)

Вообще говоря, да, это тоже сомнительное место. Можно ту же последовательность интерпретировать как итерации, скажем, $x\mapsto 10\sqrt{10\sqrt{x}}.$ Можно даже как композицию разных функций. (Допускаем же мы бесконечные десятичные дроби, в которых на разных позициях разные цифры.) Может быть, тут вылезут ещё какие-то "решения".

[dimka21]

mihaild в сообщении #1452713 писал(а):

Нет, вы тут провели бесконечное число замен. По сути как раз перешли к пределу, но т.к. тут члены последовательности зависят от $x$ - то перешли к пределу неправильно.

А если так ?
$10\sqrt{10\sqrt{10...}}=x$
$\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10...}}}}=\sqrt{x}$
$10\sqrt{10\sqrt{10...}}}=10\sqrt{x}$
и по транзитивности $x=10\sqrt{x}$
Все ли преобразования были равносильны? Или последний переход не отличается от замены?

[mihaild]

dimka21 в сообщении #1452745 писал(а):

Все ли преобразования были равносильны?

Извлечение корня, вообще говоря, не равносильное преобразование (теряются решения, где подкоренное выражение отрицательно).

dimka21 в сообщении #1452745 писал(а):

и по транзитивности

Ну вот это как раз следствие, а не равносильное преобразование. Собственно всё тот же пример: $x = 0$, по симметричности $0 = x$, по транзитивности из предыдущих $x = x$.

[slavav]

Otta в сообщении #1452665 писал(а):

Но раз так, давайте мы схитрим. Наш $x$ все равно строго положителен, и потому здесь

Otta в сообщении #1452605 писал(а):

рассмотрим при неотрицательных $x$ функцию $f(x)=x^2$

рассмотрим $f$ при строго положительных $x$. Тогда удается поломать?

Почему вы произвольно ограничили область определения функции $f$?
Почему тогда не рассмотреть её на множестве $\left\lbrace x|x \ge 101\right\rbrace$? В этом случае решения нет совсем.

-- 08.04.2020, 15:18 --

dimka21 в сообщении #1452745 писал(а):

А если так ?
$10\sqrt{10\sqrt{10...}}=x$
$\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10...}}}=\sqrt{x}$
$10\sqrt{10\sqrt{10...}}=10\sqrt{x}$
и по транзитивности $x=10\sqrt{x}$
Все ли преобразования были равносильны?

Все.
Вы выполнили фактически подстановку. Единственно предположение, которое вы использовали - существование неотрицательного значения у исходной формулы.

[mihaild]

slavav в сообщении #1452761 писал(а):

Вы выполнили фактически подстановку

Нет, переход по транзитивности (по схеме $(a = b \wedge a = c) \rightarrow b = c$) не равносилен.

[Munin]

mihaild в сообщении #1452792 писал(а):

Нет, переход по транзитивности (по схеме $(a = b \wedge a = c) \rightarrow b = c$) не равносилен.

А по схеме $a = b \rightarrow (a = b \wedge a = c) \rightarrow b = c$ равносилен?

[mihaild]

Munin в сообщении #1452793 писал(а):

А по схеме $a = b \rightarrow (a = b \wedge a = c) \rightarrow b = c$ равносилен?

А такой схемы я вообще не знаю. Что тут слева, что справа?
И я зря написал $\rightarrow$, должно было быть $\vdash$:

$$a=b, a=c\vdash b=c$$

.

[dimka21]

А что такое $\vdash$?

[mihaild]

dimka21 в сообщении #1452828 писал(а):

А что такое $\vdash$?

Выводимость. Это знак из матлога, вам он особо не нужен, не заморачивайтесь.
Если интересно - можете почитать "Языки и исчисления" Верещагина и Шеня, но это не на один вечер чтение.

[dimka21]

mihaild в сообщении #1452851 писал(а):

Выводимость. Это знак из матлога, вам он особо не нужен, не заморачивайтесь.
Если интересно - можете почитать "Языки и исчисления" Верещагина и Шеня, но это не на один вечер чтение.

Шень? Значит там и задачки есть, тем более матлогика мне тоже интересна. Спасибо за книжку

-- 08.04.2020, 19:11 --

mihaild в сообщении #1452733 писал(а):

Только тут многоточие может скрывать лишь конечное (хотя и произвольное) число радикалов. Т.е. вы можете получить такой результат для $1$, $10$, $10^{10^{10}}$ радикалов - для любого конкретного их числа. К пределу переходить нельзя.

А можно по подробнее почему к пределу переходить нельзя? Если я правильно предполагаю это потому что в такой записи есть последний член, хотя сама последовательность бесконечна?

[mihaild]

dimka21 в сообщении #1452854 писал(а):

А можно по подробнее почему к пределу переходить нельзя?

По умолчанию к пределу переходить нельзя, каждый раз когда можно - это нужно отдельно доказывать.
В данном случае доказать не получится, потому что получается неправильный результат.

Вообще, на вопросы "почему какой-то переход не равносилен", "почему нельзя переходить к пределу" и т.д., не всегда есть хороший ответ. Почему переход от $x = 0$ к $x + 1 = 0 + 2$ (к левой части добавили $1$, к правой $2$) незаконен? Я не знаю лучшего ответа чем "он дает некорректный результат" или "а с чего бы ему вообще быть законным?".

[Otta]

Ох ты ж блин, закидали на ровном месте ))
Я, конечно, понимаю, что Рамануджан был не образец строгости, но его бы тоже закидали и не вспомнили бы потом: это лишь попытка использовать его технику.

slavav в сообщении #1452761 писал(а):

Почему вы произвольно ограничили область определения функции $f$?
Почему тогда не рассмотреть её на множестве $\left\lbrace x|x \ge 101\right\rbrace$? В этом случае решения нет совсем.

Ну потому, что я никаких решений не ищу. Я хочу подставить 10. А она больше нуля. Могу (в своих целях) и двойкой снизу ограничить, да. А 101 больше 10.

-- 09.04.2020, 01:31 --

Munin
Я могу взять этот Ваш пост и придираться точно так же к каждой строчке. Но я это не люблю. Я предпочитаю по существу.
По существу замечаний у Вас нет.

[Munin]

Otta в сообщении #1452935 писал(а):

Я могу взять этот Ваш пост и придираться точно так же к каждой строчке.

О. А я придирался к каждой строчке?

Otta в сообщении #1452935 писал(а):

По существу замечаний у Вас нет.

У вас что-то с оптикой.

Пожалуй, разговор окончен.

[Otta]

Munin в сообщении #1452943 писал(а):

Пожалуй, разговор окончен.

Вы уже уходите?

[Munin]

Разумеется.

Modest: Часть сообщения удалена (сами знаете, какая). Не надо так делать. Сообщение могу полностью удалить, если считаете, что смысл искажается.

Munin: Удалена и оставшаяся часть сообщения. Оставлен 1 бит ответа на непосредственный вопрос.