Простейшая задача вариационного исчисления

[Juicer]

Пытаюсь решить задачу
$\int_{0}^{2} ((x^3 - e^{-y} )y' + xy^2)dx \rightarrow extr$
с условиями$\begin{cases} &y(0) = 0 \\ &y(2) = 1 \\ \end{cases}$.
Я нашёл уравнение Эйлера-Лагранжа: $-\frac{d}{dx}(x^3 - e^{-y}) + 3x^2y' +y^2 = 0 $
$\Rightarrow y'(3x^2 - e^{-y}) = 3x^2 - y^2$
(Уравнение Э-Л нахожу по формуле: $-\frac{d}{dx}\bigl(\frac{ \partial F}{\partial y'}\bigr) + \frac{ \partial F }{\partial x} = 0 $ )
Подскажите, правильно ли я всё сделал? И если это так, то далее нужно найти решение выписанного уравнения Эйлера-Лагранжа, а там же получается трансцедентное уравнение. Как в данном случае можно найти y?

[Утундрий]

Juicer в сообщении #1450367 писал(а):

Уравнение Э-Л нахожу по формуле: $-\frac{d}{dx}\bigl(\frac{ \partial F}{\partial y'}\bigr) + \frac{ \partial F }{\partial x} = 0 $

В этой формуле имеется опечатка.

[Juicer]

Да, действительно, уравнение Эйлера-Лагранжа записывается как:

$$-\frac{d}{dx}\bigl(\frac{ \partial F} { \partial y'} \bigr) + \frac{ \partial F} { \partial y} = 0$$

Но снова возникла проблема: получилось уравнение
$- \frac{d}{dx}(x^3 - e^{-y}) + e^{-y}y' +2xy = 0 \Rightarrow - 3x^2 - e^{-y}y' + e^{-y}y' +2xy = 0 \Rightarrow -3x^2 +2xy = 0$
То есть у нас получается только одна возможная экстремаль вообще для данного уравнения. Но если подставить начальные данные в точке (2, 1), уравнение им удовлетворять не будет.

[Утундрий]

Ну, можно ещё проверить правильность подынтегрального выражения. Вполне может оказаться, что производная там стоит во второй степени.

[teleglaz]

Juicer в сообщении #1450367 писал(а):

Подскажите, правильно ли я всё сделал?

Если в условиях всё верно и с учётом вашего второго поста, то правильно.

Juicer в сообщении #1450367 писал(а):

там же получается трансцедентное уравнение

Ну, не такое уж оно и трансцендентное. Но не суть. Да, такое бывает, когда уравнение Эйлера не является дифференциальным. Если его решение удовлетворяет граничным условиям, то экстремаль существует. Если нет, то задача решений не имеет.

Juicer в сообщении #1450369 писал(а):

одна возможная экстремаль вообще для данного уравнения

Вообще экстремаль ищется не для уравнения, а для функционала из постановки задачи. Так что у вас в итоге её нет (с учётом граничных условий, конечно же).

Замечу, что если бы во втором условии вместо 1 стояло бы 3, то экстремаль существовала и была бы равна найденой.

Это нормальный случай. Краевая задача "уравнение Эйлера + граничные условия" не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным.

[Juicer]

Спасибо, понял