2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Простейшая задача вариационного исчисления
Сообщение02.04.2020, 05:38 
Пытаюсь решить задачу
$\int_{0}^{2} ((x^3 - e^{-y} )y' + xy^2)dx \rightarrow extr$
с условиями$\begin{cases}
			&y(0) = 0 \\
			&y(2) = 1 \\
		\end{cases}$.
Я нашёл уравнение Эйлера-Лагранжа: $-\frac{d}{dx}(x^3 - e^{-y}) + 3x^2y' +y^2 = 0 $
$\Rightarrow y'(3x^2 - e^{-y}) = 3x^2 - y^2$
(Уравнение Э-Л нахожу по формуле: $-\frac{d}{dx}\bigl(\frac{ \partial F}{\partial y'}\bigr) + \frac{ \partial F }{\partial x} = 0 $ )
Подскажите, правильно ли я всё сделал? И если это так, то далее нужно найти решение выписанного уравнения Эйлера-Лагранжа, а там же получается трансцедентное уравнение. Как в данном случае можно найти y?

 
 
 
 Re: Простейшая задача вариационного исчисления
Сообщение02.04.2020, 05:41 
Аватара пользователя
Juicer в сообщении #1450367 писал(а):
Уравнение Э-Л нахожу по формуле: $-\frac{d}{dx}\bigl(\frac{ \partial F}{\partial y'}\bigr) + \frac{ \partial F }{\partial x} = 0 $
В этой формуле имеется опечатка.

 
 
 
 Re: Простейшая задача вариационного исчисления
Сообщение02.04.2020, 06:04 
Да, действительно, уравнение Эйлера-Лагранжа записывается как:
$$-\frac{d}{dx}\bigl(\frac{ \partial F} { \partial y'} \bigr) + \frac{ \partial F} { \partial y} = 0$$
Но снова возникла проблема: получилось уравнение
$- \frac{d}{dx}(x^3 - e^{-y}) +  e^{-y}y' +2xy = 0  \Rightarrow - 3x^2 - e^{-y}y' +  e^{-y}y' +2xy = 0  \Rightarrow -3x^2 +2xy = 0$
То есть у нас получается только одна возможная экстремаль вообще для данного уравнения. Но если подставить начальные данные в точке (2, 1), уравнение им удовлетворять не будет.

 
 
 
 Re: Простейшая задача вариационного исчисления
Сообщение02.04.2020, 06:12 
Аватара пользователя
Ну, можно ещё проверить правильность подынтегрального выражения. Вполне может оказаться, что производная там стоит во второй степени.

 
 
 
 Re: Простейшая задача вариационного исчисления
Сообщение02.04.2020, 10:05 
Juicer в сообщении #1450367 писал(а):
Подскажите, правильно ли я всё сделал?

Если в условиях всё верно и с учётом вашего второго поста, то правильно.
Juicer в сообщении #1450367 писал(а):
там же получается трансцедентное уравнение

Ну, не такое уж оно и трансцендентное. Но не суть. Да, такое бывает, когда уравнение Эйлера не является дифференциальным. Если его решение удовлетворяет граничным условиям, то экстремаль существует. Если нет, то задача решений не имеет.
Juicer в сообщении #1450369 писал(а):
одна возможная экстремаль вообще для данного уравнения

Вообще экстремаль ищется не для уравнения, а для функционала из постановки задачи. Так что у вас в итоге её нет (с учётом граничных условий, конечно же).

Замечу, что если бы во втором условии вместо 1 стояло бы 3, то экстремаль существовала и была бы равна найденой.

Это нормальный случай. Краевая задача "уравнение Эйлера + граничные условия" не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным.

 
 
 
 Re: Простейшая задача вариационного исчисления
Сообщение02.04.2020, 19:34 
Спасибо, понял

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group