Сущность математических проблем

[А.Связной]

Captious писал(а):

А.Связной в сообщении #144754 писал(а):

Любите Вы на личности переходить, г-н Копытов, ну да ладно.

Секрет полишинеля... Ну, пускай будет А. Связной...

Цитата:

Я понял Вашу позицию, спорить не буду, она тоже существует

Сильно сомневаюсь, что поняли... Ну да ладно...

Цитата:

Пока же, считайте, что я говорил об элементах, как о бесконечных множествах, т.к. в этом случае множества и "множества" - тоже понятия разных иерархических уровней, но на уровне "множеств" все "множества" выглядят идентично. Считаю, что и в отношении них нужно идти от идентичности к уникальности, но Вам видимо хочется чтобы они оставались идентичными.

А вот домыслами и сочинительством заниматься не надо!
Если мне что-то захотелось, то я об этом прямо скажу...
Если бы вы внимательно читали форумы, то могли бы заметить, что я постоянно выступаю против "сокращений", против "идентичности множеств" и даже против "идентичности бесконечностей".
Такие вот дела, г-н А. Связной...

Не сомневайтесь, г-н Captious - понял я вашу позицию, верной дорогой идете, товарищ

[MaximKat]

Captious в сообщении #144695 писал(а):

Что такое "тривиальный порядок на множ-ве"  посмотрите здесь

смотрю:

Скорняков - Элементы общей алгебры писал(а):

Порядок называется тривиальным, если $a\leq b$ в том и только том случае, когда $a=b$

Какой замечательный порядок... И какое, с учетом этого порядка, число следует за $\pi$?

[вздымщик Цыпа]

MaximKat в сообщении #144819 писал(а):

Какой замечательный порядок... И какое, с учетом этого порядка, число следует за $\pi$?

Никакое. В этом порядке никто ни за кем не следует. Все гуляют сами по себе.

[Captious]

вздымщик Цыпа в сообщении #144831 писал(а):

Никакое. В этом порядке никто ни за кем не следует. Все гуляют сами по себе.

Вот-вот... Выбрал одного из "гуляющих", а за ним можешь выбрать "следующего". Кого пожелаешь: хочешь $\pi+1$, а хошь - ещё что-нибудь. И так до бесконечности...

[MaximKat]

Т.е. фраза

Captious в сообщении #144553 писал(а):

Любой ежик знает, что любое множ-во можно считать тривиально упорядоченным, так что следующий элемент в любом бесконечном множ-ве можно найти и выбрать всегда.

просто состоит из двух не связанных друг с другом кусков? Как именно из тривиальной упорядоченности следует возможность выбрать следующий элемент?

И дайте уже наконец определение "следующего элемента". Куда именно он следует?

[Someone]

Captious писал(а):

Someone в сообщении #144689 писал(а):

Смотря что считать "моей" задачей. Если демонстрацию Вашей несостоятельности - то да, выполнил.

И это вам тоже всего лишь почудилось.
Само собой разумеется , вы продемонстрировали...
Но вот только совсем не то, на что рассчитывали...

Видите ли, экзаменационную комиссию крайне редко интересует мнение экзаменуемого о том, как он сдал экзамен, а если интересует, то только с точки зрения выяснения его (экзаменуемого) самооценки. Мы видим, что Ваша самооценка заоблачная, в то время как оценка, выставленная комиссией, явно неудовлетворительнеая: ни на один вопрос Вы ответить не в состоянии, только списываете со шпаргалок, да и то без понимания.

[Captious]

MaximKat в сообщении #144859 писал(а):

И дайте уже наконец определение "следующего элемента". Куда именно он следует?

Не куда, а за кем. Просто "следующего" самого по себе элемента увы, не бывает. Как, например, не бывает бесконечности "вообще"... Дайте же, наконец, определение отношения порядка на множ-ве $\mathbb R$, которое вы решили ввести, и я укажу вам следующее за $\pi$ число ..( согласно вашего определения). Я, например, выбрал такое отношение порядка
(следования), что за каждым числом $r\in\mathbb R$ у меня следует число $r+1$

Цитата:

просто состоит из двух не связанных друг с другом кусков? Как именно из тривиальной упорядоченности следует возможность выбрать следующий элемент? ?

Никак не следует! О том и речь: аксиома выбора ничего не говорит о том, что множ-во обязательно должно быть упорядоченным. Достаточно даже того, чтобы множ-во было тривиально упорядоченным...

Кстати. Тут недавно возник очень интересный вопрос про "эталон" счетного множ-ва. Как вы думаете, почему "технически очень неудобно" в качестве "эталона" счетности вместо натурального ряда чисел использовать множ-во рациональных чисел $\mathbb Q$, которое тоже счётно ?

Jnrty:

Зафиксировано.

[вздымщик Цыпа]

Captious в сообщении #144865 писал(а):

Просто "следующего" самого по себе элемента увы, не бывает.

Бывает $x \prec y\mathbin{\mathop{=}\limits^{\text{def}}} x < y \mathbin{\&} (\forall z\, (x \leqslant z \leqslant y \supset (x = z \vee z = y)))$. Постоянно встречается в $\mathbb N$ и не только.

[MaximKat]

Captious в сообщении #144865 писал(а):

Кстати. Тут недавно возник очень интересный вопрос про "эталон" счетного множ-ва. Как вы думаете, почему "технически очень неудобно" в качестве "эталона" счетности вместо натурального ряда чисел использовать множ-во рациональных чисел , которое тоже счётно ?

В качестве эталона счетности можно использовать любое счетное множество, потому что биективность - это отношение эквивалентности. Но для ряда доказательств удобнее, чтобы множество было вполне упорядоченным, что неверно для общепринятого порядка на $\mathbb{Q}$. Если этот порядок изменить, проблема отпадет.

Добавлено спустя 3 минуты 27 секунд:

Captious в сообщении #144865 писал(а):

Дайте же, наконец, определение отношения порядка на множ-ве , которое вы решили ввести, и я укажу вам следующее за $\pi$ число ..

Даю: $a>b$ тогда и только тогда, когда $a-b\in \mathbb{R}^+$, где $\mathbb{R}^+$ - множество положительных действительных чисел. Жду числа, следующего за $\pi$

[Captious]

MaximKat в сообщении #144871 писал(а):

Жду числа, следующего за $\pi$

Долго ждать придётся: где определение следующего ( согласно вашего определения порядка ) числа? Кто за кем "следует": $a$ за
$b$ следует или наоборот?

MaximKat в сообщении #144871 писал(а):

В качестве эталона счетности можно использовать любое счетное множество, потому что биективность - это отношение эквивалентности. Но для ряда доказательств удобнее, чтобы множество было вполне упорядоченным, что неверно для общепринятого порядка на $\mathbb Q$ . Если этот порядок изменить, проблема отпадет

А в чём проблема-то и в чём конкретно состоят "неудобства"?
Тут один "экзаменатор" уверял, что в принципе в качестве эталона счетности можно использовать даже лист бумажки в клеточку!. Про "неудобства" он как-то ничего конкретного и вскользь...
А может быть это настолько "неудобно", что эталоном такую "счетную кракозябрину" даже называть неудобно будет?

[MaximKat]

Captious писал(а):

Долго ждать придётся: где определение следующего ( согласно вашего определения порядка ) числа? Кто за кем "следует": $a$ за
$b$ следует или наоборот?

Э, нет. Уговор другой был. Вы сказали:

Captious писал(а):

Дайте же, наконец, определение отношения порядка на множ-ве $\mathbb R$, которое вы решили ввести, и я укажу вам следующее за $\pi$ число ..( согласно вашего определения)

Я вам дал отношение порядка на $\mathbb R$? Дал. Вот и укажите, что за $\pi$ следует (согласно моего определения).

Captious в сообщении #144876 писал(а):

А в чём проблема-то и в чём конкретно состоят "неудобства"?

Откуда я знаю? Если у вас какие-то неудобства, то и расскажите в чем конкретно они состоят. Мне лично все равно, что для определения счетности использовать.

[Captious]

вздымщик Цыпа в сообщении #144870 писал(а):

Бывает . (...)Постоянно встречается в $\mathbb N$ и не только.

Ну, и кто же тут "сам по себе"? Ась?
$x$ и $y$ тут вовсе "не сами по себе", а только вместе ... в отношении порядка

MaximKat в сообщении #144878 писал(а):

Я вам дал отношение порядка на $\mathbb R$? Дал. Вот и укажите, что за $\pi$ cледует (согласно моего определения).

Вот для этого мне и надо знать, кто за кем "следует" (согласно вашего определения)...
Как узнаю, так сразу вместо $a$ или $b$ подставлю число $\pi$ и всё вам без утайки расскажу ...
"Следовать сам по себе" в теории множеств ещё никто не научился...
"Следовать" или "предшествовать" можно только в согласии с заданным отношением порядка. Если ваше $a>b$ означает, что $a$ "следует" за $b$ - это влечёт за собой один ответ на ваш "сакраментальный вопрос", если же $a$ "предшествует" $b$ - это уже другой вариант ответа...

MaximKat в сообщении #144878 писал(а):

Откуда я знаю? Если у вас какие-то неудобства, то и расскажите в чем конкретно они состоят. Мне лично все равно, что для определения счетности использовать.

Оба-на! Так это ж вы писали

MaximKat в сообщении #144871 писал(а):

Но для ряда доказательств удобнее, чтобы ...

Так почему с натуральным рядом гораздо удобнее, чем с $\mathbb Q$?

[Jnrty]

Captious, Ваше поведение снова мне сильно не нравится. Вы снова уклоняетесь от ответов на конкрентные заданные Вам вопросы. По существу Вы не ответили ни на один. Я не буду припоминать все, но последний вопрос требует Вашего и только Вашего ответа.

Captious в сообщении #144553 писал(а):

Любой ежик знает, что любое множ-во можно считать тривиально упорядоченным, так что следующий элемент в любом бесконечном множ-ве можно найти и выбрать всегда. Нельзя только выбрать из него "последний", поскольку такой элемент в нём начисто отсутствует...

Здесь Вы писали, что достаточно тривиального порядка, чтобы можно было указать элемент, следующий за любым.

Определение следующего элемента при заданном отношении порядка было здесь:

вздымщик Цыпа писал(а):

$x \prec y\mathbin{\mathop{=}\limits^{\text{def}}} x < y \mathbin{\&} (\forall z\, (x \leqslant z \leqslant y \supset (x = z \vee z = y)))$

Однако следующего элемента, полученного с помощью тривиального порядка, Вы так и не указали.

Далее Вы написали:

Captious писал(а):

Дайте же, наконец, определение отношения порядка на множ-ве $\mathbb R$, которое вы решили ввести, и я укажу вам следующее за $\pi$ число ..( согласно вашего определения).

Определение порядка было дано:

MaximKat писал(а):

$a>b$ тогда и только тогда, когда $a-b\in \mathbb{R}^+$, где $\mathbb{R}^+$ - множество положительных действительных чисел.

И где обещанный Вами "следующий" элемент?

И Вы снова начинаете вести себя вызывающе.

Jnrty:

Посему предупреждаю, что в самое ближайшее время у Вас есть такие варианты.
1) Вы демонстрируете следующий элемент в смысле порядка, который Вам указал MaximKat. Этот следующий элемент, естественно, должен удовлетворять определению следующего элемента, которое сформулировал вздымщик Цыпа.
2) Вы публично признаёте, что всё время несли чушь про следующий элемент.
3) Вы продолжаете уклоняться от ответа, выдумывая новые условия или игнорируя вопрос, и в таком случае я Вас блокирую за троллинг. Без дополнительного предупреждения. Возможно, насовсем.

[MaximKat]

Captious в сообщении #144880 писал(а):

Вот для этого мне и надо знать, кто за кем "следует" (согласно вашего определения)...

Я не знаю, кто за кем следует и что вообще значит "следует". Этот термин использовали вы.
Является ли

Цитата:

$a>b$ тогда и только тогда, когда $a-b\in \mathbb{R}^+$, где $\mathbb{R}^+$ - множество положительных действительных чисел

отношением порядка или нет? Если нет, то какой именно части определения "отношения порядка" оно не соответствует? Если да, то выполните ваше обещание.

Цитата:

Так почему с натуральным рядом гораздо удобнее

Я не говорил, что гораздо удобнее. Не настолько удобнее, чтобы без этого возникали какие-либо трудности. Если у вас они возникают - поделитесь.

[Captious]

MaximKat в сообщении #144966 писал(а):

Является ли

Цитата:

$a>b$ тогда и только тогда, когда $a-b\in \mathbb{R}^+$, где $\mathbb{R}^+$ - множество положительных действительных чисел

отношением порядка или нет? Если нет, то какой именно части определения "отношения порядка" оно не соответствует? Если да, то выполните ваше обещание.

Прям не знаю как мне быть... Вопрос-то выеденного яйца не стоит.
Но всё равно надо проконсультироваться у профессионала.

Вот вздымщик Цыпа писал(а):

Captious в сообщении #144865 писал(а):

Просто "следующего" самого по себе элемента увы, не бывает.

Бывает $x \prec y\mathbin{\mathop{=}\limits^{\text{def}}} x < y \mathbin{\&} (\forall z\, (x \leqslant z \leqslant y \supset (x = z \vee z = y)))$. Постоянно встречается в $\mathbb N$ и не только.

А мне как то больше нравится традиционное название - отношение непосредственного следования ...
Г-н вздымщик! К вам вопрос на две копейки...
Известно, что запись бинарного отношения порядка иногда читают так: элемент $Y$ следует за элементом $X$. Скажите, пожалуйста, надо ли дополнительно указывать кто за кем следует, или по умолчанию подразумевается, что в записи $x \prec y$ элемент $y$ всегда является следующим за $x$?
Вот г-н MaximKat в своём определении некого отношения порядка на множ-ве $\mathbb R$ использовал знак "больше" $ >$, что в данном конкретном случае не ведёт к путанице, но не указал какое число за каким следует, и теперь приходится нам гадать между двумя вариантами: то ли $a =\pi$, то ли $b =\pi$. Помогите разобраться, пожалуйста.

Jnrty:

!