Сущность математических проблем

[Captious]

Someone в сообщении #144491 писал(а):

Вот я и хочу доказать, что множество рациональных чисел будет равномощно самому себе.

А может не стоит зря тратить время? Вам понравится и вы захотите доказать, что множ-во действительных чисел равномощно самому себе, потом вспомните про множ-во квадратиков на бумажке...
Ведь любой ежик знает, что любое множ-во равномощно самому себе по определению!

Someone в сообщении #144491 писал(а):

Captious в сообщении #144209 писал(а):
Смена главного эталона предполагает, что само понятие счетности будет переопределяться на основе множ-ва $\mathbb Q$, а про множ-во $\mathbb N$ придется совсем забыть до того момента, пока не наступит время показать его "рациональную" или ... "квадратную" счетность...

Я именно это и предлагаю сделать. А что, у Вас с доказательством счётности натурального ряда на основе моего определения появились какие-то проблемы?

Поскольку вашего определения никто до сих пор так и не увидел, то и никаких проблем ни у кого не появилось! Начните с "квадратной" счетности: так, видимо, вам легче будет...

Someone в сообщении #144491 писал(а):

Чтобы говорить о последнем элементе, нужно, чтобы на множестве имелось отношение линейного порядка. А его там нет, пока Вы не установите взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом и не перенесёте отношение порядка с натурального ряда на "нумеруемое" множество.

Captious в сообщении #141796 писал(а):

"Первый" элемент - это элемент данного множ-ва, который при установлении 1-1 соответствия с элементами множ-ва $ \mathbb N$ ( "нумерации") сопоставляется натуральному числу 1. Натуральное число $n$ соответствует $n{\text{-му }}$ элементу.
Если элемента, соответствующего числу $n+1$, нет, то $n{\text{-ый }}$ элемент будет "последним" в данном множ-ве и "следующего" за ним элемента не существует ( множ-во конечно и имеет ровно $n$ элементов) .

Легко увидеть, что моё употребление указанных терминов полностью соответствует естественному отношению порядка следования элементов в ряду натуральных чисел...
Никакого "переноса отношения порядка" с одного множ-ва на другое при выполнении процедуры 1-1 соответствия не происходит и совершенно не требуется. Аксиома выбора даже не требует чтобы сами сравниваемые множества были упорядоченными.

Someone в сообщении #144491 писал(а):

Да нету там никакого порядка и нету никакой следующей пары.Просто каждому числу $r\in\mathbb Q$ставим в сответствие то же самое $r\in\mathbb Q$. Так какой элемент там следующий за $1$?

А какой следующий квадратик за квадратом №1 на бумажном листочке в клеточку?...

Someone в сообщении #144491 писал(а):

Но в "нумеруемом" множестве этого порядка нет, и появится он только после появления взаимно однозначного соответствия и переноса отношения порядка с множества натуральных чисел на "нумеруемое" множество.

Чушь несусветная!
Процедура упорядочения любого множ-ва, т.е. установление на нём отношения порядка, и установление равномощности этого множ-ва с
каким-либо другим множ-вом совершенно независимы.

Someone в сообщении #144491 писал(а):

Кстати, возник ещё один интересный вопрос. Пусть у нас есть некоторое счётное множество $A$. Как получить его "нумерацию", пользуясь "отсутствием последнего элемента"?

Если у вас имеется счетное множ-во, то оно уже "пронумеровано" ( по определению счетности)! Причем, при выполнении этой процедуры уже пользовались отсутствием последнего элемента во множ-ве $\mathbb N$... Так что повторная "нумерация" вашего счетного множ-ва не требуется... Конечно, я не могу утверждать, что также будет и при внедрении вашей "рациональной счетности" (см.выше) ...

Someone в сообщении #144491 писал(а):

Жаль, что я не собираю коллекцию идиотизмов. Ваша идея - отличать число от него самого - была бы, вероятно, на почётном первом месте. Я такого ещё не встречал.

Я тоже...
Даже в голову не могло такое прийти и тем более, написать...
Советую вам начать собирать коллекцию своих "сочинялок и разводилок"!

[Someone]

Captious в сообщении #144514 писал(а):

Ведь любой ежик знает, что любое множ-во равномощно самому себе по определению!

Нет, не по определению. Это надо доказывать, хотя доказательство, конечно, очень простое.

Captious в сообщении #144514 писал(а):

Поскольку вашего определения никто до сих пор так и не увидел

Ну, это несерьёзно с Вашей стороны. Это совсем детская увёртка. Я же сказал, что в качестве "эталонного" множества вместо натурального ряда будем использовать множество рациональных чисел. Ну так уж и быть, раз Вы не в состоянии сделать эту замену, я напишу.
Определение. Множество $A$ будем называть счётным, если существует взаимно однозначное отображение множества $A$ на множество рациональных чисел.

Captious в сообщении #144514 писал(а):

А какой следующий квадратик за квадратом №1 на бумажном листочке в клеточку?...

А никакого. Поскольку множество квадратиков не упорядочено.

Captious в сообщении #144514 писал(а):

Если у вас имеется счетное множ-во, то оно уже "пронумеровано"

Нет. Счётность означает, что его можно "пронумеровать". Но "нумеровать" нам всё-таки придётся собственноручно. Поэтому вопрос остаётся. Уж Вы постарайтесь, а то я совсем заскучаю и "уйду к другому деду".

Someone писал(а):

Пусть у нас есть некоторое счётное множество $A$. Как получить его "нумерацию", пользуясь "отсутствием последнего элемента"? Вы пишете, что

Captious в сообщении #142950 писал(а):

... следствие отсутствия "последнего" элемента, который является неисчерпаемым резервом для бесконечной процедуры установления 1-1 соответствия...

Продемонстрируйте эту "неисчерпаемость".

Captious в сообщении #144514 писал(а):

Я тоже...
Даже в голову не могло такое прийти и тем более, написать...

Так написали же:

Captious писал(а):

Captious в сообщении #143186 писал(а):

по какому признаку(критерию) числа 2, 3, 4. ... как элементы собственного подмнож-ва вы разделяете/отличаете от тех же чисел 2, 3, 4, ... как элементов всего множ-ва при проведении процедуры установления 1-1 соответствия?

Когда выполняется процедура установления 1-1 соответствия между элементами каких-либо множеств, то в дополнение к различению элементов самих по себе, т.е., внутри какого-либо множ-ва, также приходится отличать элементы и в связи с их принадлежностью к тому или иному множеству (подмнож-ву).

То есть, Вы хотите отличить число $2\in\mathbb N$ от числа $2\in\mathbb N\setminus\{1\}\subset\mathbb N$. Поскольку это один и тот же элемент $2$, получается, что Вы хотите отличить этот элемент от него самого.

То, что я уже комментировал, повторно не комментирую.

Напомню ещё один вопрос, который Вы, похоже, хотите заболтать:

Someone в сообщении #144491 писал(а):

Раз уж Вы о методе индукции заговорили, приведите, пожалуйста, точную его формулировку. А потом покажите, как Вы своё рассуждение втискиваете в этот метод.

Это о Вашем "доказательстве".

[Jnrty]

Jnrty:

Вернул из раздела "Околонаучный и книжный флейм".

[ewert]

Someone в сообщении #144491 писал(а):

Предполагается там гораздо более слабое: что множество нумераций каждого множества непусто.

Да, на таком языке, пожалуй -- это действительно аксиома выбора. Просто я к нему не привык. В моём представлении счётная аксиома выбора -- это всё же нечто гораздо более подразумеваемое, чем просто аксиома выбора.

[Captious]

Someone в сообщении #144517 писал(а):

Определение. Множество $A$ будем называть счётным , если существует взаимно однозначное отображение множества $A$ на множество рациональных чисел.
....
Captious в сообщении #144514 писал:
Если у вас имеется счетное множ-во, то оно уже "пронумеровано"

Нет. Счётность означает, что его можно "пронумеровать". Но "нумеровать" нам всё-таки придётся собственноручно. Поэтому вопрос остаётся. Уж Вы постарайтесь, а то я совсем заскучаю и "уйду к другому деду".

Перед тем как уйти, прочитайте еще раз
о том как можно "пронумеровать" счетное множ-во

Определение счётности мы получили. Теперь вам осталось только собственноручно ( как вы нам давно уже обещали) показать, как можно (и надо) "нумеровать" натуральный ряд в смысле этой новой счётности , и можете спокойно уходить...

Someone в сообщении #144517 писал(а):

Вы хотите отличить число $2\in\mathbb N$ от числа $2\in\mathbb N\setminus\{1\}\subset\mathbb N$. Поскольку это один и тот же элемент , получается, что Вы хотите отличить этот элемент от него самого.

Получается совсем не то, что вам почудилось...

Captious в сообщении #143186 писал(а):

по какому признаку(критерию) числа 2, 3, 4. ... как элементы собственного подмнож-ва вы разделяете/отличаете от тех же чисел 2, 3, 4, ... как элементов всего множ-ва при проведении процедуры установления 1-1 соответствия?

Вспомните по какому признаку (критерию) элементы включаются в то или иное множ-во...

Someone в сообщении #144517 писал(а):

Captious в сообщении #144514 писал:
А какой следующий квадратик за квадратом №1 на бумажном листочке в клеточку?...

А никакого. Поскольку множество квадратиков не упорядочено.

Любой ежик знает, что любое множ-во можно считать тривиально упорядоченным, так что следующий элемент в любом бесконечном множ-ве можно найти и выбрать всегда. Нельзя только выбрать из него "последний", поскольку такой элемент в нём начисто отсутствует...

Someone в сообщении #144517 писал(а):

Раз уж Вы о методе индукции заговорили, приведите, пожалуйста, точную его формулировку. А потом покажите, как Вы своё рассуждение втискиваете в этот метод.

Возьмите со своей книжной полки какой-нибудь учебник и найдите там точную формулировку принципа математической индукции. Потом прочитайте "мое" доказательство и посмотрите, как и что там "втиснуто". Наверняка, вы уже догадались, что доказательство не моё, а дословно взято из уже известных вам "Лекций по дополнительным главам математического анализа" В.И. Соболева... Ведь "тролль Captious" только тем и занимается, что переписывает учебники для развлечения "профессионалов" - чтоб им не скучно было...

[MaximKat]

Captious в сообщении #144553 писал(а):

Любой ежик знает, что любое множ-во можно считать тривиально упорядоченным, так что следующий элемент в любом бесконечном множ-ве можно найти и выбрать всегда.

А какой элемент следует за $\pi$ в множестве действительніх чисел?

[Someone]

Captious писал(а):

Перед тем как уйти, прочитайте еще раз
о том как можно "пронумеровать" счетное множ-во

Смотрел. В упор не вижу даже намёков. Приведите полный текст построения. Пока я вижу только, что Вы уклоняетесь.

Captious писал(а):

Определение счётности мы получили. Теперь вам осталось только собственноручно ( как вы нам давно уже обещали) показать, как можно (и надо) "нумеровать" натуральный ряд в смысле этой новой счётности

Не обещал. Но раз уж Вы не догадываетесь, как это сделать, намекну. Берёте в книжке доказательство счётности множества рациональных чисел (когда в качестве "эталона" взят натуральный ряд) и заменяете в нём слова "следовательно, множество рациональных чисел счётно" словами "следовательно, натуральный ряд счётен".

Вообще, я хотел бы, чтобы Вы поняли: выбор "основного эталона мощности" - это на 100% вопрос соглашения, от которого ничего не меняется. Если выбран удобный "эталон" - хорошо, если неудобный - появляются микроскопические усложнения. Всё равно никакой "эталон" не будет одинаково удобным во всех случаях. К тому же, без аксиомы выбора нельзя выбрать "эталоны" для всех мощностей. Это всё, что от Вас требуется в данном вопросе.

Captious писал(а):

Someone в сообщении #144517 писал(а):

Вы хотите отличить число $2\in\mathbb N$ от числа $2\in\mathbb N\setminus\{1\}\subset\mathbb N$. Поскольку это один и тот же элемент , получается, что Вы хотите отличить этот элемент от него самого.

Получается совсем не то, что вам почудилось...:)

Captious в сообщении #143186 писал(а):

по какому признаку(критерию) числа 2, 3, 4. ... как элементы собственного подмнож-ва вы разделяете/отличаете от тех же чисел 2, 3, 4, ... как элементов всего множ-ва при проведении процедуры установления 1-1 соответствия?

У меня дословный перевод Вашей фразы. И её суть сводится к тому, чтобы отличить элемент $2$, принадлежащий одному множеству, от него самого, но принадлежащего другому множеству. В общем, идиотизм высшего класса. Элемент-то один и тот же, и всё равно нужно отличать его от него же.

Captious писал(а):

Вспомните по какому признаку (критерию) элементы включаются в то или иное множ-во...

Ну-ка, ну-ка, просветите нас! Это что-то новенькое!

Captious писал(а):

Someone в сообщении #144517 писал(а):

Captious в сообщении #144514 писал:
А какой следующий квадратик за квадратом №1 на бумажном листочке в клеточку?...

А никакого. Поскольку множество квадратиков не упорядочено.

Любой ежик знает, что любое множ-во можно считать [i] тривиально упорядоченным, так что следующий элемент в любом бесконечном множ-ве можно найти и выбрать всегда. Нельзя только выбрать из него "последний", поскольку такой элемент в нём начисто отсутствует...

Хорошо, это тоже что-то новое. Пусть $A$ - произвольное множество. Опишите его тривиальное упорядочение, и посмотрим, какой там "следующий" элемент.

Captious писал(а):

Someone в сообщении #144517 писал(а):

Раз уж Вы о методе индукции заговорили, приведите, пожалуйста, точную его формулировку. А потом покажите, как Вы своё рассуждение втискиваете в этот метод.

Возьмите со своей книжной полки какой-нибудь учебник и найдите там точную формулировку принципа математической индукции.

Да ладно, недавно смотрел уже. Кроме того, основной-то вопрос не об этом, а о формализации Вашего доказательства существования счётного подмножества с помощью указанного принципа. А чтобы всё было ясно, формулировочку принципа всё-таки приведите.

Captious писал(а):

Потом прочитайте "мое" доказательство и посмотрите, как и что там "втиснуто". Наверняка, вы уже догадались, что доказательство не моё, а дословно взято из уже известных вам "Лекций по дополнительным главам математического анализа" В.И. Соболева...

Я уже как-то писал, что изучать теорию множеств по введениям в какие-то математические дисциплины в высшей степени несерьёзно.

Captious писал(а):

Ведь "тролль Captious" только тем и занимается, что переписывает учебники для развлечения "профессионалов" - чтоб им не скучно было... :lol:

Это я хорошо вижу. Но при этом "он" явно плохо понимает, что переписывает, а когда начинает нести отсебятину, то вообще уши вянут.

А "нумерацию" произвольного счётного множества с помощью "неисчерпаемости последнего элемента" Вы явно хотите заболтать. Я бы хотел всё-таки на это построение посмотреть.

[Captious]

MaximKat в сообщении #144571 писал(а):

А какой элемент следует за $\pi$ в множестве действительніх чисел?

Говорят, сначала надо множ-во упорядочить, то бишь, ввести на нём какое-нибудь отношение порядка... А вот потом можно и про следующие, предыдущие, первые и последние...

Someone в сообщении #144576 писал(а):

Captious писал(а):
Определение счётности мы получили. Теперь вам осталось только собственноручно ( как вы нам давно уже обещали) показать, как можно (и надо) "нумеровать" натуральный ряд в смысле этой новой счётности

Не обещал. Но раз уж Вы не догадываетесь, как это сделать, намекну. Берёте в книжке доказательство счётности множества рациональных чисел (когда в качестве "эталона" взят натуральный ряд) и заменяете в нём слова "следовательно, множество рациональных чисел счётно" словами "следовательно, натуральный ряд счётен".

Абалдеть! Забыли только добавить, что слово счетность надо везде заменить на счётность...
Ну всё: задачу свою вы полностью выполнили - можете с чистой совестью "уходить к другому деду"!

[MaximKat]

Captious в сообщении #144667 писал(а):

Говорят, сначала надо множ-во упорядочить, то бишь, ввести на нём какое-нибудь отношение порядка... А вот потом можно и про следующие, предыдущие, первые и последние...

А не надо на них ссылаться. Вы сказали, что

Цитата:

Любой ежик знает, что любое множ-во можно считать тривиально упорядоченным, так что следующий элемент в любом бесконечном множ-ве можно найти и выбрать всегда.

Вот пожалуйста тривиально упорядочьте множество $\mathbb{R}$ и скажите какой элемент будет тривиально следовать за $\pi$

[Someone]

Captious писал(а):

Забыли только добавить, что слово счетность надо везде заменить на счётность...

Зачем? Разве Вы не поняли, что "счетность" и "счётность" эквивалентны? Если Вы намекаете на то, что я сам выделил этот термин в определении, то это общепринятая практика - выделять определяемый термин.

Captious писал(а):

Ну всё: задачу свою вы полностью выполнили - можете с чистой совестью "уходить к другому деду"! ;)

Смотря что считать "моей" задачей. Если демонстрацию Вашей несостоятельности - то да, выполнил. Не надо было с самого начала хамить и всех поучать. Но было бы интереснее, если бы Вы попытались честно ответить на заданные Вам вопросы (не только мои).

[Captious]

MaximKat в сообщении #144687 писал(а):

Вот пожалуйста тривиально упорядочьте множество $\mathbb R$ и скажите какой элемент будет тривиально следовать за $\pi$

Что значит ваше премудрое "тривиально следовать" я увы, не знаю...
Что такое "тривиальный порядок на множ-ве"
посмотрите здесь
А что следующий элемент из бесконечного множества, в отличие от конечного, можно выбрать всегда - это тривиальный факт...Как это делается практически см. в сообщении #143186

Someone в сообщении #144689 писал(а):

Смотря что считать "моей" задачей. Если демонстрацию Вашей несостоятельности - то да, выполнил.

И это вам тоже всего лишь почудилось.
Само собой разумеется , вы продемонстрировали...
Но вот только совсем не то, на что рассчитывали...

Цитата:

Не надо было с самого начала хамить и всех поучать. Но было бы интереснее, если бы Вы попытались честно ответить на заданные Вам вопросы (не только мои).

Обязательно сохраните это в коллекции своих "сочинялок и разводилок"!

[А.Связной]

Цитата:

Yrptious в сообщении #141531 писал(а):
Одинаковые элементы по определению считаются неотличимыми, поэтому каждый элемент множ-ва входит в него в единственном экземпляре.
Someone:
Бред. Например, электроны одинаковые (неотличимые), но их больше одного.
OZH:
Имеется в виду, например, что {x,x}={x}.
Someone:
Не понял. В теории множеств различные элементы безусловно считаются различимыми. Поскольку х - один элемент, то это множество содержит только один элемент. Данное равенство - следствие определения равенства множеств. Для электронов ситуация другая: их много, но они неразличимы.

Возьмем, например, две точки. Они идентичны ? Казалось бы да, но задайтесь вопросом, как мы тогда их отличаем, почему мы говорим, что их две, а не одна. Ведь если бы они были действительно идентичны, т.е. между ними не было бы никакой разницы, мы не могли бы сказать, что их две.
Может быть две точки уникальны ? Но задайтесь вопросом, если они действительно уникальны, т.е. не имеют ничего общего, как можем мы сказать, что их две или что они "уникальны". Ведь для этого как раз и потребуется найти в них нечто общее, например, то что они "уникальны".

Мощность любого конечного множества можно обозначить произвольным элементом множества R.
$\\q`$ ~$\{a`\}=\{a``\}=\{b`\}=\{b`…\}=\{c`…\}…(\forall a,b,c… \in R$
$\\q``$~$\{a`,a``\}=\{a``,a```\}=…=\{a``,a`\}=\{a``,a```\}=…=\{a```,a``\}=…(\{a`…,a`…\}=\{b`…,a`…}=… (\forall a,b…\in R)$
$\\q```$~$\{a`,a``,a```\}=\{a``,a`,a```\}=…\{b``,b`,b```\}=…(\forall a,b…\in R)$…

q,a,b… – совершенно не связанные между собой, произвольные элементы $\in R$. Предположение, что они в общем случае связаны отношением порядка взято с потолка, необоснованно ничем.

Элементы, вида q`… определяют мощности соответствующих конечных множеств безотносительно порядка элементов в них и того, что это за элементы, кроме того, сами эти элементы в общем случае не обязаны быть связаны отношением порядка. То, что элементы $\\q $ можно сделать элементами соответствующих конечных множеств, мощности которых они определяют (например, $\\q`=a`, q``=a```, q```=a``,q`…=a`…)$ - очень воодушевляет, однако, это вовсе не означает, что так оно и есть на самом деле.

Более того, даже если мы примем, что:
$\\q`$ ~$\{a`\}=\{q`\}=…(\forall a,q… \in R)$
$\\q``$~$\{a`,q``\}=\{q``,a`\}=\{q`,q``\}=\{q``,c`\}… (\forall a,q,c…\in R)$
…
тождество q`=q`, q``=q`` установлено аксиоматически – это вопрос веры, на самом деле вполне может быть, что мы уравняли совершенно разные элементы: q`=a``… и т.д.

Иными словами, элементов в множестве R достаточно, чтобы никогда (ни для одного конечного множества) не допустить, чтобы элемент, определяющий мощность этого множества стал бы элементом этого множества, и даже, если мы примем, что это все же имеет место быть, мы никогда не сможем установить действительно ли элемент, которым мы обозначили мощность конечного множества тождественен одному из его элементов.

$\ 1=\{1\}, 2=\{1,2\}, 3=\{1,2,3\}…$ - это всего - лишь структура, определяющая изоморфные модели, среди которых могут быть и не изоморфные. Мы не знаем, что первая единица и единица внутри первого, второго и т.д. множества тождественны.

Если считать числа точками, можно сообразить, как разрешается приведенный мной «парадокс» идентичности/уникальности. Если нам так нужно, мы отвлекаемся от возможности не тождества единиц в конечных множествах и они становятся идентичными, если нам надо сделать их уникальными, мы отвлечемся от возможности их тождества и они станут уникальными. Правда, в общем случае, ни того ни другого в абсолютном смысле мы не добьемся.

[Captious]

А.Связной в сообщении #144740 писал(а):

...мы никогда не сможем установить действительно ли элемент, которым мы обозначили мощность конечного множества тождественен одному из его элементов.

По-моему, это совершенно очевидно: мощность является свойством всего множ-ва в целом, то бишь, целой совокупности, а не какого-то отдельного элемента. "Обозначение мощности" - это всего лишь знак\имя и входить в какое-либо множ-во он может только в таком качестве.
Точно так же, множ-во не может входить в состав другого множ-ва в качестве элемента, поскольку "элемент" и "множ-во" - понятия разных иерархических уровней.
Ваш «парадокс» идентичности/уникальности - это, г-н Рогов, продолжение вашей же "концепции" отождествления знака/имени с обозначаемым им "объектом"...

[А.Связной]

Captious писал(а):

А.Связной в сообщении #144740 писал(а):

...мы никогда не сможем установить действительно ли элемент, которым мы обозначили мощность конечного множества тождественен одному из его элементов.

По-моему, это совершенно очевидно: мощность является свойством всего множ-ва в целом, то бишь, целой совокупности, а не какого-то отдельного элемента. "Обозначение мощности" - это всего лишь знак\имя и входить в какое-либо множ-во он может только в таком качестве.
Точно так же, множ-во не может входить в состав другого множ-ва в качестве элемента, поскольку "элемент" и "множ-во" - понятия разных иерархических уровней.

Ничего не имею против, более того, считаю, что путь диференциации единственно возможный. Пока же, считайте, что я говорил об элементах, как о бесконечных множествах, т.к. в этом случае множества и "множества" - тоже понятия разных иерархических уровней, но на уровне "множеств" все "множества" выглядят идентично. Считаю, что и в отношении них нужно идти от идентичности к уникальности, но Вам видимо хочется чтобы они оставались идентичными.

Цитата:

Ваш «парадокс» идентичности/уникальности - это, г-н Рогов, продолжение вашей же "концепции" отождествления знака/имени с обозначаемым им "объектом"...

Любите Вы на личности переходить, г-н Копытов, ну да ладно. Я понял Вашу позицию, спорить не буду, она тоже существует.

[Captious]

А.Связной в сообщении #144754 писал(а):

Любите Вы на личности переходить, г-н Копытов, ну да ладно.

Секрет полишинеля... Ну, пускай будет А. Связной...

Цитата:

Я понял Вашу позицию, спорить не буду, она тоже существует

Сильно сомневаюсь, что поняли... Ну да ладно...

Цитата:

Пока же, считайте, что я говорил об элементах, как о бесконечных множествах, т.к. в этом случае множества и "множества" - тоже понятия разных иерархических уровней, но на уровне "множеств" все "множества" выглядят идентично. Считаю, что и в отношении них нужно идти от идентичности к уникальности, но Вам видимо хочется чтобы они оставались идентичными.

А вот домыслами и сочинительством заниматься не надо!
Если мне что-то захотелось, то я об этом прямо скажу...
Если бы вы внимательно читали форумы, то могли бы заметить, что я постоянно выступаю против "сокращений", против "идентичности множеств" и даже против "идентичности бесконечностей".
Такие вот дела, г-н А. Связной...