Получение спектральной плотности (Вентцель)

[VitDer]

Добрый день, уважаемые участники форума!

Недавно просматривая учебник Вентцель Е.С. по теории вероятностей обратил
внимание на вывод формулы спектральной плотности на стр. 445:

$S(\omega)=\frac{D}{2\pi}\cdot\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp(-\alpha\|\tau|)\exp(-i\omega\tau)d\tau$=
$=\frac{D}{2\pi}\cdot\left\lbrace \int\limits_{-\infty}^{0}\exp(\alpha\tau)\exp(-i\omega\tau)d\tau+\int\limits_{0}^{\infty}\exp(-\alpha\tau)\exp(-i\omega\tau)d\tau\right\rbrace$
$=\frac{D}{2\pi}\cdot\left\lbrace \int\limits_{0}^{\infty}\exp(-(\alpha-i\omega)\tau)d\tau+\int\limits_{0}^{\infty}\exp(-(\alpha+i\omega)\tau)d\tau\right\rbrace=...$

Непонятен переход от второй строки к третьей. У первого интеграла поменяли местами пределы интегрирования, а знак "минус"
почему-то ушёл в показатель экспоненты, хотя должен быть перед ней.

Не знаю, может быть это связано с комплексными числами ... Потому что по всем канонам

$\int\limits_{-\infty}^{0}\exp(\alpha\tau)\exp(-i\omega\tau)d\tau=\int\limits_{0}^{\infty}-\exp((\alpha-i\omega)\tau)d\tau\ne\int\limits_{0}^{\infty}\exp(-(\alpha-i\omega)\tau)d\tau$


Есть ли мысли по этому поводу? Заранее спасибо.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки ответа на вопрос.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 27.03.2020, 18:05 --

Комплексные числа тут не при чем. Сделайте в первом интеграле замену $t=-\tau$, а потом переобозначьте $t$ как $\tau$.

[VitDer]

Да, если сделать замену, то работает

А почему не работает классическое?
$\int\limits_{-\infty}^{0}\exp(\alpha\tau)\exp(-i\omega\tau)d\tau=\int\limits_{0}^{\infty}-\exp((\alpha-i\omega)\tau)d\tau$

Или для несобственных интегралов недостаточно просто сменить знак перед интегралом, поменяв местами границы интегрирования?

[Munin]

 И то, что вы написали, работает.  Просто для дальнейших выкладок нужно то, что сделано.

[Otta]

VitDer в сообщении #1447712 писал(а):

А почему не работает классическое?

Извините, а откуда оно взялось, это классическое?
Возьмите $\omega=0$, интеграл слева положителен, справа отрицателен.

[VitDer]

Otta в сообщении #1447715 писал(а):

VitDer в сообщении #1447712 писал(а):

А почему не работает классическое?

Извините, а откуда оно взялось, это классическое?
Возьмите $\omega=0$, интеграл слева положителен, справа отрицателен.

Разве нет такой формулы?

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=-\int\limits_{b}^{a}f(x)dx$

[Otta]

Есть. А разве у Вас минус бесконечность наверху?

[VitDer]

Минус бесконечность - это $a$, 0 - это $b$. Формально всё выполняется $a<b$

Кажется, понял:

$\int\limits_{-\infty}^{0}\exp(\alpha\tau)\exp(-i\omega\tau)d\tau=\int\limits_{0}^{-\infty}-\exp((\alpha-i\omega)\tau)d\tau$

Так должно выглядеть классическое

[Otta]

Раз непонятно, переставьте пределы. Формально. И напишите тут.

-- 27.03.2020, 22:13 --

VitDer в сообщении #1447727 писал(а):

Кажется, понял:

Ну и хорошо.

[VitDer]

Ну, а всё-таки, как показать теперь, что
$\int\limits_{0}^{-\infty}-\exp((\alpha-i\omega)\tau)d\tau=\int\limits_{0}^{\infty}\exp((-\alpha-i\omega)\tau)d\tau$

Вроде бы замена - идея неплохая, но неестественная, что ли ... Всё же мы переходим к другой переменной $t=-\tau$.
В данном примере комплексная форма используется вроде бы для уменьшения объёма выкладок, но уменьшение приводит, получается, к усложнению умозаключений ... Вплоть до потери логики ...

[Otta]

VitDer в сообщении #1447746 писал(а):

Вроде бы замена - идея неплохая, но неестественная, что ли ...

Нет ничего естественней. И не надо переставлять пределы, работайте сразу с исходным интегралом.

VitDer в сообщении #1447746 писал(а):

В данном примере комплексная форма используется вроде бы для уменьшения объёма выкладок, но уменьшение приводит, получается, к усложнению умозаключений ... Вплоть до потери логики ...

"Просто не умеете их готовить"
Вот, учитесь. Одно действие, студент первого-второго курса должен быть обучен видеть необходимость в нем. А Вам уже сразу сказали, что получится.

[Pphantom]

VitDer в сообщении #1447746 писал(а):

Всё же мы переходим к другой переменной $t=-\tau$.

Какая разница, как называется переменная в определенном интеграле?

[VitDer]

Цитата:

Какая разница, как называется переменная в определенном интеграле?

Формально нет разницы. Но если переменная интегрирования несёт физический смысл?
Есть предложение $t = -\tau$. ОК. Тогда и надо оставлять в том интеграле $dt$.
А потом просто так переобозначить $t$ на $\tau$ тоже не очень хорошо, т.к.
мы то знаем, что $t = -\tau$ ... Как бы в этом и противоречие ...

[Pphantom]

VitDer в сообщении #1447760 писал(а):

Формально нет разницы. Но если переменная интегрирования несёт физический смысл?

Ну и пусть несет.

Вы, если отвлечься от несущественных в данном случае деталей, считаете сумму, для которой эта переменная служит индексом суммирования. Это всего лишь способ перебрать слагаемые, и его замена на другой способ не должна поменять итоговую сумму.

VitDer в сообщении #1447760 писал(а):

А потом просто так переобозначить $t$ на $\tau$ тоже не очень хорошо, т.к. мы то знаем, что $t = -\tau$ ... Как бы в этом и противоречие ...

Кхм... знаете, пожалуй, не стоит читать учебники по теории вероятностей при непонимании основ матанализа 1 курса. И рано, и смысла нет.