Получение спектральной плотности (Вентцель)

[VitDer]

Цитата:

Кхм... знаете, пожалуй, не стоит читать учебники по теории вероятностей при непонимании основ матанализа 1 курса. И рано, и смысла нет.

Я понимаю, что Вентцель Е. С. права с вероятностью, близкой к единице Однако, вот в преобразованиях я, по крайней мере,
не почувствовал аналитической строгости ...

Есть интеграл
$ \int\limits_{-\infty}^{0}\exp(\alpha\tau)\exp(-i\omega\tau)d\tau$

Хочу "чтобы было от 0 до плюс бесконечности". Замена переменной $\tau=-t$. Хорошо.
$d\tau=-dt$. $\tau=-\infty$, тогда $t=+\infty$. $\tau=0$, тогда $t=0$.

Интеграл принимает вид:
$ -\int\limits_{\infty}^{0}\exp(-\alpha t)\exp(i\omega t)dt$

По обсуждаемой выше формуле получаем:

$ -\int\limits_{\infty}^{0}\exp(-\alpha t)\exp(i\omega t)dt=\int\limits_{0}^{\infty}\exp(-\alpha t)\exp(i\omega t)dt$

А теперь предлагается просто: "а давайте $t=\tau$!" Но ведь $\tau=-t$ ...

[kotenok gav]

Дело в том, что $\frac{d f(x)}{dx}=\frac{d f(y)}{dy}$, даже при $y=-x$. Из этого следует, что первообразные $f(x)$ и $f(y)$ по $dx$ и $dy$ совпадают, а значит, по формуле Ньютона-Лейбница у нас получается $\int\limits^a_b f(x)dx=\int\limits^a_b f(y)dy$.

[Otta]

VitDer в сообщении #1447764 писал(а):

А теперь предлагается просто: "а давайте $t=\tau$!" Но ведь $\tau=-t$ ...

Сосчитайте $\int _0^2 x^2dx$ и $\int_0^2 y^2 dy$. Они сильно отличаются?
Вот и здесь так же.