задачи по ОТО

[physicsworks]

Предлагаю в этой теме выкладывать и обсуждать нестандартные задачи по ОТО, в частности те, которые нельзя найти в сборнике ЛППТ и других стандартных сборниках. При недавнем чтении курса по ОТО на некотором этапе пришлось выдумывать задачи для экзамена/домашних работ самому, да так, чтобы они были полезными и решаемыми за разумное время. Приходилось, конечно, просить помощи у старшего поколения и пытаться выудить некоторые задачки у них.

Для начала:

Космический корабль из стали отправляется исследовать черную дыру массы порядка $10^6$ солнечных масс, расположенную в центре галактики. Уничтожат ли корабль приливные силы до пересечения им Шварцшильдовского радиуса или после? Примите разумные предположения о размерах корабля и подсмотрите необходимые табличные данные для стали.

Небольшая масса $m$ рассеивается на большой массе $M \gg m$ с прицельным параметром $b$ и нулевой полной энергией. Описывая движение небольшой массы $m$ классической механикой, найдите (в квадрупольном приближении) какую долю энергии по сравению с пиковой кинетической энергии массы $m$ составит энергия гравитационного излучения за все время движения.

[Munin]

physicsworks в сообщении #1375451 писал(а):

Небольшая масса $m$ рассеивается на большой массе $M \gg m$ с прицельным параметром $b$ и нулевой полной энергией.

А разве так можно? В пределе там не будет параболы, для которой понятие прицельного параметра некорректно?

[physicsworks]

Munin, да, спасибо, под $b$ нужно понимать минимальное расстояние до центра (уже не имею возможности изменить стартовое сообщение).

[physicsworks]

Каково максимальное собственное время сможет "прожить" наблюдатель после пересечения горизонта событий Шварцшильдовской дыры прежде чем попадет в сингулярность (выразить через константы и массу черной дыры)?

[Утундрий]

physicsworks в сообщении #1447285 писал(а):

Каково максимальное собственное время сможет "прожить" наблюдатель после пересечения горизонта событий Шварцшильдовской дыры прежде чем попадет в сингулярность (выразить через константы и массу черной дыры)?

Ответ: $\infty $. Через константы и параметры "дыры" он выражается соразмерным себе количеством способов.

[arseniiv]

А что там не так? Мне показалось, спрашивается про длину мировой линии с точки её пересечения с горизонтом (и будем считать, что масса тела маленькая и горизонт смещается пренебрежимо) до обрыва, она определена и конечна.

Анализ размерностей с учётом $\mathrm M = \mathrm T = \mathrm L$ как будто даёт, что этот интервал должен бы линейно зависеть от массы чёрной дыры, но как-то это подозрительно просто (ну и коэффициент конечно так найти трудно).

[physicsworks]

Утундрий в сообщении #1447287 писал(а):

Ответ: $\infty $.

нет

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1447287 писал(а):

Через константы и параметры "дыры" он выражается соразмерным себе количеством способов.

из множества значений сохраняющихся (на единицу массы) энергии и момента имульса нужно выбрать те, которые удовлетворяют условию максимальности собственного времени. Впрочем это предполагалось додумать самому.

[Утундрий]

arseniiv в сообщении #1447290 писал(а):

А что там не так?

Да сущий пустяк: ничего не сказано о законе движения "наблюдателя". И ежели последний активно сопротивляется падению, скажем испускает газов, то усилия его окупятся.

[physicsworks]

Утундрий в сообщении #1447294 писал(а):

Да сущий пустяк: ничего не сказано о законе движения "наблюдателя". И ежели последний активно сопротивляется падению, скажем испускает газов, то усилия его окупятся.

весь смысл задачи в том, что не окупяться, если, конечно, не додумывать об испускании газов и прочего, о чем в задаче не сказано. P.S. ну и подумайте если существует мировая линия максимальной длины, чем она является. О начальных условиях на $r=2M$ тоже можно догадаться исходя из анализа движения в эффективном потенциале и условия максимальности.

[Утундрий]

physicsworks в сообщении #1447297 писал(а):

если, конечно, не додумывать об испускании газов и прочего, о чем в задаче не сказано

У вас серьёзные проблемы с логикой.

[Munin]

physicsworks в сообщении #1447285 писал(а):

Каково максимальное собственное время сможет "прожить" наблюдатель после пересечения горизонта событий Шварцшильдовской дыры прежде чем попадет в сингулярность (выразить через константы и массу черной дыры)?

Поскольку в шварцшильдовских координатах (sic) "время и пространство меняются местами", то длиннейшая мировая линия просто идёт по радиусу при $t=\mathrm{const}.$

Я собрался было ляпнуть, что $r_g/c,$ но понял, что скорее нужно метрику интегрировать, $\sqrt{g_{rr}}.$ Интеграл получается конечный. Вангую, что там какой-то красивый коэффициент вылезет, типа $\sqrt{2}.$

[physicsworks]

Утундрий в сообщении #1447299 писал(а):

У вас серьёзные проблемы с логикой.

хорошо, чтобы вашей логике легче стало, замените в условии слово "наблюдатель" на что-то не вызывающее у вас непреодолимого желания оживотворить тело, падающее в черныю дыру, со всеми вытекающими газами и прочее

-- 26.03.2020, 02:52 --

Munin правильно вангуете, но коэффициент больше корня из двух и красивее))

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1447294 писал(а):

И ежели последний активно сопротивляется падению, скажем испускает газов, то усилия его окупятся.

Ну я прочитал «максимальное время среди всех возможных таких случаев». И оно для свободного падения, ну и там случай лишь один.

[physicsworks]

Из той же оперы, специально для тех, кто любит, когда наблюдатели испускают газы и сопротивляются:

Космический корабль "парит" над шварцшильдовской черной дырой массы $M$ на расстоянии соответствующем шварцшильдовской радиальной координате $R$ пытается улететь на бесконечность за счет единичного выброса груза из отсеков. Какова в принципе максимально возможная доля массы корабля сможет улететь на бесконечность?

[Утундрий]

physicsworks в сообщении #1447315 писал(а):

Космический корабль обращающийся вокруг шварцшильдовской черной дыры массы $M$ на круговой орбите соответствующей шварцшильдовской радиальной координате $R$ пытается улететь на бесконечность за счет выброса груза из отсеков. Какова в принципе максимально возможная доля массы корабля сможет улететь на бесконечность?

Здесь опять же молчаливо подразумевается один дельта-импульс?