задачи по ОТО

[physicsworks]

Утундрий в сообщении #1447331 писал(а):

Здесь опять же молчаливо подразумевается один дельта-импульс?

верно.

Все же я поторопился. Нужно заменить

physicsworks в сообщении #1447315 писал(а):

обращающийся вокруг шварцшильдовской черной дыры массы $M$ на круговой орбите соответствующей

на

physicsworks в сообщении #1447315 писал(а):

"парит" над шварцшильдовской черной дырой массы $M$ на расстоянии соответствующем

Также прошу модераторов заменить как справедливо замечено выше

physicsworks в сообщении #1447315 писал(а):

за счет выброса груза

на

physicsworks в сообщении #1447315 писал(а):

за счет единичного выброса груза

(Оффтоп)

под "парит" имеется ввиду начальная 4-скорость корабля есть $\left( 1/\sqrt{1-2M/R},0,0,0 \right)$

[Утундрий]

Вижу два подхода к решению задачи: быстрый, но скучный и творческий, но затратный. Взять у Ландау и Лифшица готовую формулу и тупо туда подставить. Или вывести всё с нуля, то есть из вариационного принципа.

[Munin]

А мне кажется, ответ снова в $g_{tt}$ в шварцшильдовских координатах. Интегрировать ничего не надо.

[Утундрий]

Ах да, ответ... Если ничего не напутал, то вроде бы

$$\[ \frac{{\sqrt {r - r_g } }} {{\sqrt r + \sqrt {r_g } }} \] $$

[physicsworks]

Утундрий ответ верный.
P.S. мда, давно я в ЛЛ не заглядывал.

-- 28.03.2020, 20:50 --

обычно студенты решают в лоб законами сохранения.

[Утундрий]

Приведу свой вариант решения.

Следуя своему принципу - не таскать через всё решения тривиальных констант - запишу метрику в виде

$$\[ ds^2 = \frac{{r - 1}} {r}dt^2 - \frac{r} {{r - 1}}dr^2 \] $$

Ищем геодезические, т.е. кривые $x = \left\{ {t(s),r(s)} \right\}$, удовлетворяющие вариационному принципу $\delta \int {ds} = 0$. Перепишем последний в виде $\delta \int {L\left( {x,\dot x} \right)ds} = 0$, где $L: = \sqrt {\frac{{r - 1}}{r}\dot t^2 - \frac{r}{{r - 1}}\dot r^2 } $.

Для дальнейшего упрощения жизни заметим, что вообще-то $L \equiv 1$. И поэтому вариационные задачи $\delta \int {Lds} = 0$ и $\delta \int {\tilde L\left( L \right)ds} = 0$ эквивалентны. Это, возможно, не очевидно, но легко проверяется выписыванием уравнений Эйлера для обеих задач. Так что можно положить $\tilde L = L^2 $. (Этот фокус-покус без должного обоснования, е.м.н.и.п., приводится в винрарном МТУ).

Далее, выписывая условия экстремальности и приводя их в соответствие с тем же $L \equiv 1$ (это позволяет фиксировать одну из двух свободных констант), получаем

$$\[ \left\{ {\begin{array}{ccl} {\dot t &=& K\dfrac{r} {{r - 1}}} \\ {\dot r^2 &=& K^2 - 1 + \dfrac{1} {r}} \\ \end{array} } \right. \] $$

Теперь можно играться в развал башки надвое. Возьмём зависшее тело единичной массы и представим его 4-импульс в виде суммы 4-импульсов двух движущихся по двум разным геодезическим тел

$$\[ \left\{ {\sqrt {\frac{r} {{r - 1}}} ,0} \right\} = m_ + \left\{ {K_ + \frac{r} {{r - 1}},\sqrt {K_ + ^2 - 1 + \frac{1} {r}} } \right\} + m_ - \left\{ {K_ - \frac{r} {{r - 1}}, - \sqrt {K_ - ^2 - 1 + \frac{1} {r}} } \right\} \] $$

Здесь все константы неотрицательны и, кроме того, $K_ + \geqslant 1$, раз уж мы собраемся отправить одну из частей в командировку на бесконечность.

Решая эту систему относительно $m_ + $, находим

$$\[ m_ + = \dfrac{{\sqrt {\dfrac{r} {{r - 1}}} }} {{K_ + + \sqrt {K_ + ^2 - 1 + \dfrac{1} {r}} \left( {\dfrac{{K_ - }} {{\sqrt {K_ - ^2 - 1 + \dfrac{1} {r}} }}} \right)}} \] $$

Максимум этого выражения достигается при $K_ - \to + \infty , ~ K_ + = 1$ и оказывается равным

$$\[ \max m_ + = \frac{{\sqrt {r - 1} }} {{\sqrt r + 1}} \] $$

Теперь можно вернуться к столь милому многим сердцам

$$\[ 1 - \frac{{2GM}} {{c^2 r}} \] $$

и получится то, что я написал выше.

[physicsworks]

Утундрий отлично! таким образом пока только один студент решал, но он ошибся в вычислениях в самом конце (свой полный бал он получил).

В качестве разминки тем, кто хочет вспомнить Рейснера—Нордстрёма (задача скорее учебная):

В пространствевремени Рейснера—Нордстрёма, является ли гиперповерхность $r=0$ времениподобной, пространсвтенноподобной или светоподобной?
Hint:

(Оффтоп)

замените $r, t$ на null-координаты вблизи $r=0$ и нарисуйте соответствующую диаграмму Пенроуза

Продемонстрируйте, что никакие времениподобные геодезические не достигают $r=0$, но некоторые светоподобные геодезические достигают за конечное значение аффинного параметра.

[Утундрий]

Кстати, можно рассмотреть вариант увода зонда с круговой орбиты. Вряд ли будет какое-то компактное выражение, зато более физично.

[physicsworks]

Утундрий да, там не очень красиво получается, поэтому я заменил круговую орбиту на парящий зонд.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Иногда на меня находит стремление посчитать рассеяние гравитационной волны на чёрной дыре. Математически чистая задача. Никакой тебе непонятной материи, один голый вакуум... Но когда я представляю, сколько на это уйдёт времени, стремление уходит вдаль на фоне заходящего Солнца.

[physicsworks]

(Оффтоп)

Утундрий, ну такими вещами Сол Тюкольски и его студенты в Корнелле занимались, можно у них набраться вдохновения :)