Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const

[arseniiv]

kotenok gav в сообщении #1446253 писал(а):

Кстати, интересный вопрос возник. Можно ли через $\operatorname{Din}()$ выразить решение уравнения $\sin(x)=ax+b$?

Если покрутить графики, то видно, что по идее нет.

[kotenok gav]

Можно попробовать определить обобщенную функцию Динамо, как решение уравнения $P(\sin x)=Q(x)$ ($P$ и $Q$ полиномы, функция определяется от их коэффициентов). Интересно, можно ли ее через другие функции выразить, скажем, гипергеометрическую?

-- 23 мар 2020, 00:03 --

(Гипергеометрическую - в смысле, обобщенную гипергеометрическую)

[kotenok gav]

Или хотя бы обычную функцию Динамо через нее выразить...

[kotenok gav]

$J_n(n)=\sum\limits^\infty_{m=0}\frac{(-1)^m}{m! (m+n)!}(\frac{n}2)^{2m+n}.
$\sin nx=\sum\limits^\infty_{m=0}\frac{(-1)^m}{(2m+1)!}(nx)^{2m+1}.
Умножая (заодно и на $\frac2n$), получаем $f(n, x)=\sum\limits^\infty_{k=0}\sum\limits^\infty_{m=0}\frac{(-1)^{m+k} n^{2m+2k+n}}{(2m+1)! k! (k+n)! 2^{2k+n-1}}x^{2m+1}$.
Как мы знаем, $Din(x)=\sum\limits^\infty_{n=0} f(n, x)$.
Внутренняя сумма $f(n, x)$ является гипергеометрической - $\frac{t_{m+1}}{t_m}=-\frac{(nx)^2}{(2m+2)(2m+3)}=\frac1{(m+\frac32)(m+1)}\frac{-(nx)^2}4$. Тогда наша внутренняя сумма (назовем ее $T(n, k, x)$) равна $\frac{(-1)^k}{k! (k+n)!}(\frac{n}2)^{2k+n}nx\, _0F_1[;\frac32;\frac{-(nx)^2}4]$.
Далее надо попробовать использовать алгоритм Зеилбергера (A=B) для $T$...