Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const

[dinamo-3]

Можно ли аналитически решить уравнение вида $\sin(x)=x-a$, где $a= \operatorname{const}$.
Например, для уравнения $\sin(x)=x-1$ графически определяется корень $x=1.93456321$

[Brukvalub]

Тема обречена на карантин...

[dinamo-3]

Brukvalub в сообщении #1195930 писал(а):

Тема обречена на карантин...

Почему? Не в тот раздел написал сообщение?

[wrest]

dinamo-3
см. topic115708.html

[Евгений Машеров]

Нет. Только численно.

[dinamo-3]

Евгений Машеров в сообщении #1195941 писал(а):

Нет. Только численно.

Численно - это как? Вместо $a$ ставить конкретное число?

-- 28.02.2017, 12:44 --

wrest в сообщении #1195933 писал(а):

dinamo-3
см. topic115708.html

В этом топике даже намёков нет на решение.

[Lia]

dinamo-3
Вам ответили: нет. Нельзя решить аналитически. Только численно. Каких намеков Вы еще хотите?

[wrest]

dinamo-3
Синус по модулю не больше единицы, так что все корни будут в диапазоне $|x-a|\leq1$
Корень всегда один.
Иногда корень известен точно, например для целых $n$ при $a=\pi n$, корень $x=a$
Для больших $a$, т.е. $a>>1$, можно положить $x=a$, например для $a=100500$, можно написать что $x=100500\pm 1$

[dinamo-3]

Lia в сообщении #1195968 писал(а):

dinamo-3
Вам ответили: нет. Нельзя решить аналитически. Только численно. Каких намеков Вы еще хотите?

что значит ЧИСЛЕННО ?

[wrest]

dinamo-3 в сообщении #1195977 писал(а):

что значит ЧИСЛЕННО ?

См. тут: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0 ... 0%B8%D0%B9

[Евгений Машеров]

"Можно решить только численно" означает, что нет формулы, подставив в которую данные, получим ответ. Как то есть, скажем, можно в квадратных уравнениях, а также кубических и четвёртой степени. Это типично для таких уравнений, в которых сочетаются тригонометрические и алгебраические функции, но и для других вероятно.
Решают их методом последовательных приближений. Есть достаточно много методов - деления пополам, секущих, Ньютона и т.п., отличающихся сложностью отдельных шагов и числом шагов для получения достаточной точности.

[Munin]

Вообще-то, даже значок квадратного корня - это некая численная процедура. Посчитать корень можно только приближённо, или за бесконечное число шагов. Мне не очень понятно, почему его считают "формулой", только потому, что изобрели значок.

[VPro]

dinamo-3 в сообщении #1195928 писал(а):

Можно ли аналитически решить уравнение вида $\sin(x)=x-a$, где $a= \operatorname{const}$?

Можно. Но для этого нужно проделать определенную работу. Чтобы понять какую, задам вопрос: что значит решить аналитически? Например, можно ли аналитически решить уравнение вида $\sin(x)=a$? Вы ответите "Можно" и тут же запишете $x=(-1)^n \arcsin a +\pi n$. Хорошо, скажу я, коли Вы нашли аналитическое решение, то чему, например, равен $x $ при $a=0.27$? Только найдите его самостоятельно, без применения вычислительных приборов (т.е. не численно). Что-то не получается?

Так, значит, аналитическое решение $x=(-1)^n \arcsin a +\pi n$ и не решение вовсе, а буквенное обозначение этого решения. И если нет возможности вычислить $\arcsin a$, то ничего решить мы не можем. Отсюда первый вывод: почти все решения мы в конце-концов, получаем численно. Но часто встречающиеся решения для удобства обозначаем через введенную для этого функцию.

Теперь перейдем к аналитическому решению Вашего уравнения. Для удобства обозначим $y=x-a$ и рассмотрим уравнение $\sin(y+a)=y$. Если его решение нужно везде и всюду, то в силу его важности назовем его уравнением Динамо, а зависимость корня от параметра $a$ обозначим специальной функцией ${\rm Din}(a)$, которую, естественно, назовем функцией Динамо.
После многолетнего кропотливого исследования мы определим, что функция ${\rm Din}(x)$ определена на всей оси, изменяется от -1 до 1, гладкая и периодическая с периодрм $2\pi$. Выпишем ее разложение в ряд, придумаем удобные методы вычисления, построим график. Вот он, кстати:

И вот, когда благодарное научное сообщество признает наши труды и примет новую функцию в оборот, мы на вопрос:

Цитата:

Можно ли аналитически решить уравнение вида $\sin(x)=x-a$, где $a= \operatorname{const}$?

ответим: да. Решение имеет вид $x={\rm Din}(a)+a$.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1196120 писал(а):

Посчитать корень можно только приближённо, или за бесконечное число шагов.

Равно как и подсчитать экспоненту, логарифм и так далее. Даже корень уравнения $x / \pi = 1$ можно десятичной дробью выразить только приближённо или за бесконечное число шагов:)

Munin в сообщении #1196120 писал(а):

Мне не очень понятно, почему его считают "формулой", только потому, что изобрели значок.

Ну, функция $y = \sqrt x$ обладает рядом хороших свойств - она дифференцируема и так далее, Вы эти свойства лучше меня знаете. Ну а дальше включаем теоремы о непрерывности / дифференцируемости / etc. композиции функций и получаем, что мы можем делать с этим корнем длинные выкладки, автоматически получая в ответе "хорошие" (опять же непрерывные, дифференцируемые, etc.) функции. Это удобно.

Другое дело, что класс "хороших" функций при любом критерии "хорошести" (непрерывность, дифференцируемость, аналитичность, etc.) много шире класса элементарных функций. То, что одни считаются "элементарными", а другие "специальными" - факт, скорее всего, внематематический. Функции, которые чаще всего нужны в приложениях, раньше всего изучили и назначили "элементарными", другие - "специальными", а те, которые нужны реже, может, даже не исследовали еще.

-- 28.02.2017, 22:41 --

UpD. Ну, VPro то же самое уже сказал, только лучше.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1196131 писал(а):

Даже корень уравнения $x / \pi = 1$ можно десятичной дробью выразить только приближённо или за бесконечное число шагов:)

Значок $\pi$ применять незаконно. Если вы его запишете как $2\arcsin 1,$ то станет ясно, что это то же самое.

Anton_Peplov в сообщении #1196131 писал(а):

Ну, функция $y = \sqrt x$ обладает рядом хороших свойств - она дифференцируема и так далее

Многие безымянные функции тоже. Например, $y=\operatorname{Din}(x)$ - тоже (кроме $x=k\pi,$ но в этом она не уступает котангенсу).